2021版高考数学一轮复习选修4_5不等式选讲第2讲不等式的证明练习理北师大版.docx

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1、第2讲不等式的证明[基础题组练]1．(2020·南阳模拟)已知函数f(x)＝

2、2x－1

3、＋

4、x＋1

5、.(1)解不等式f(x)≤3；(2)记函数g(x)＝f(x)＋

6、x＋1

7、的值域为M，若t∈M，证明：t2＋1≥＋3t.解：(1)依题意，得f(x)于是f(x)≤3⇔或或解得－1≤x≤1.即不等式f(x)≤3的解集为{x

8、－1≤x≤1}．(2)证明：g(x)＝f(x)＋

9、x＋1

10、＝

11、2x－1

12、＋

13、2x＋2

14、≥

15、2x－1－2x－2

16、＝3，当且仅当(2x－1)(2x＋2)≤0时，取等号，所以M＝[3，＋∞)．要证t2＋1≥＋3t，即证t2－3t＋1－≥0.而t2－3t＋1－＝＝.因为

17、t∈M，所以t－3≥0，t2＋1>0，所以≥0.所以t2＋1≥＋3t.2．(2020·榆林模拟)已知函数f(x)＝

18、x＋1

19、＋

20、x－1

21、.(1)求函数f(x)的最小值a；(2)根据(1)中的结论，若m3＋n3＝a，且m>0，n>0，求证：m＋n≤2.解：(1)f(x)＝

22、x＋1

23、＋

24、x－1

25、≥

26、x＋1－(x－1)

27、＝2，当且仅当(x＋1)(x－1)≤0即－1≤x≤1时取等号，所以f(x)min＝2，即a＝2.(2)证明：假设m＋n>2，则m>2－n，m3>(2－n)3.所以m3＋n3>(2－n)3＋n3＝2＋6(1－n)2≥2.①由(1)知a＝2，所以m3＋n3＝2.②①②矛

28、盾，所以m＋n≤2.3．(2020·宣城模拟)已知函数f(x)＝

29、2x＋1

30、＋

31、x－2

32、，集合A＝{x

33、f(x)<3}．(1)求集合A；(2)若实数s，t∈A，求证：<.解：(1)函数f(x)＝

34、2x＋1

35、＋

36、x－2

37、＝首先画出y＝f(x)与y＝3的图象如图所示．可得不等式f(x)<3的解集A＝.(2)证明：因为实数s，t∈A，所以s，t∈.所以－＝1＋－t2－＝(1－t2)·(s2－1)<0，所以<，所以<.4．(2020·重庆模拟)已知关于x的不等式

38、2x

39、＋

40、2x－1

41、≤m有解．(1)求实数m的取值范围；(2)已知a>0，b>0，a＋b＝m，证明：＋≥.解：(1)

42、2x

43、

44、＋

45、2x－1

46、≥

47、2x－(2x－1)

48、＝1，当且仅当2x(2x－1)≤0即0≤x≤时取等号，故m≥1.所以实数m的取值范围为[1，＋∞)．(2)证明：由题知a＋b≥1，又(a＋2b＋2a＋b)≥(a＋b)2，所以＋≥(a＋b)≥.[综合题组练]1．设不等式

49、

50、x＋1

51、－

52、x－1

53、

54、<2的解集为A.(1)求集合A；(2)若a，b，c∈A，求证：>1.解：(1)由已知，令f(x)＝

55、x＋1

56、－

57、x－1

58、＝由

59、f(x)

60、<2得－1

61、－11，只需证

62、1－abc

63、>

64、ab－c

65、，只需证1＋a2b2c2>a2b2＋c2，只需证1－a2b

66、2>c2(1－a2b2)，只需证(1－a2b2)(1－c2)>0，由a，b，c∈A，得－10恒成立．综上，>1.2．已知函数f(x)＝k－

67、x－3

68、，k∈R，且f(x＋3)≥0的解集为[－1，1]．(1)求k的值；(2)若a，b，c是正实数，且＋＋＝1，求证：a＋2b＋3c≥9.解：(1)因为f(x)＝k－

69、x－3

70、，所以f(x＋3)≥0等价于

71、x

72、≤k，由

73、x

74、≤k有解，得k≥0，且解集为[－k，k]．因为f(x＋3)≥0的解集为[－1，1]．因此k＝1.(2)证明：由(1)知＋＋＝1，因为a，b，c为正实数，所以a＋

75、2b＋3c＝(a＋2b＋3c)＝3＋＋＋＋＋＋＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a＝2b＝3c时，等号成立．因此a＋2b＋3c≥9.3．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，当x∈[－1，1]时，

76、f(x)

77、≤1.(1)求证：

78、b

79、≤1；(2)若f(0)＝－1，f(1)＝1，求实数a的值．解：(1)证明：由题意知f(1)＝a＋b＋c，f(－1)＝a－b＋c，所以b＝[f(1)－f(－1)]．因为当x∈[－1，1]时，

80、f(x)

81、≤1，所以

82、f(1)

83、≤1，

84、f(－1)

85、≤1，所以

86、b

87、＝

88、f(1)－f(－1)

89、≤[

90、f(1)

91、＋

92、f(－1)

93、]≤1.(2

94、)由f(0)＝－1，f(1)＝1可得c＝－1，b＝2－a，所以f(x)＝ax2＋(2－a)x－1.当a＝0时，不满足题意，当a≠0时，函数f(x)图象的对称轴为x＝，即x＝－.因为x∈[－1，1]时，

95、f(x)

96、≤1，即

97、f(－1)

98、≤1，所以

99、2a－3

100、≤1，解得1≤a≤2.所以－≤－≤0，故

101、f

102、＝

103、a＋(2－a)－1

104、≤1.整理得

105、＋1

106、≤1，所以－1≤＋1≤1，所以－2≤≤0，又a＞0，所以≥0，所以＝0，所以a＝2.4．(2019·高考全国卷Ⅲ)设x，y，z∈R，且x＋y＋z＝1.(1)求(x