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1、锐角三角函数及解直角三角形29.1 锐角三角函数以及特殊角（2011江苏省无锡市，2，3′）sin45°的值是（）A.B.C.D.1【解析】sin45°=【答案】B【点评】本题主要考查常见锐角三角函数值。需要学生记忆，这是对基础知识的考查，属于容易题。（2012四川内江，11，3分）如图4所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为CBA图4A．B．C．D．【解析】欲求sinA，需先寻找∠A所在的直角三角形，而图形中∠A所在的△ABC并不是直角三角形，所以需要作高．观察格点图形发现连接CD（
2、如下图所示），恰好可证得CD⊥AB，于是有sinA＝＝＝．CBA图4D【答案】B【点评】在斜三角形中求三角函数值时往往需要作高构造直角三角形，将这类问题以格点图形为背景展现时，要注意利用格点之间连线的特殊位置灵活构造．解决这类问题，一要注意构造出直角三角形，二要熟练掌握三角函数的定义．29.2 三角函数的有关计算（2012福州，9，4分，）如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（）A．200米B
3、.米C.米D.米解析：由题意，∠A=30°，∠B=45°，则，又CD=100，因此AB=AD+DB=。答案：D8题图ABC点评：本题考查了俯角概念、30°、45°的正切三角函数值，考察了用三角函数模型解决实际问题的能力，难度中等。(2012年浙江省宁波市,8,3)如图，Rt△ABC,∠C=900,AB=6,cosB=,则BC的长为（A）4(B)2(C)(D)【解析】由三角函数余弦的定义cosB==，又∵AB=6∴BC=4,故选A【答案】A【点评】本题考查三角函数的定义，比较容易.（2012福州,15，4
4、分，）如图，已知△ABC，AB=AC=1，∠A=36°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，则AD的长是，cosA的值是.（结果保留根号）解析：由已知条件，可知△BDC、△ADB是等腰三角形，且DA=DB=BC，可证△BDC∽△ABC，则有，设BC=x，则DC=1-x，因此，解方程得，（不合题意，舍去），即AD=；又cosA=答案：点评：本题考查了等腰三角形的判定、性质，三角形相似的判定和性质，一元二次方程的解法，二次根式的化简，构造直角三角形求非特殊角的三角函数值等，涉及知识点较为广泛，具有较强的综合性
5、，难度较大。（2012连云港，3，3分）小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，这样就可以求出67.5°的角的正切值是A.+1B.+1C.2.5D.【解析】注意折叠后两点对称，也就是说△ABE和△AEF都是等腰三角形。得到67.5°的角为∠FAB。【答案】设AB=x,则BE=x,在直角三角形ABE中，用勾股定理求出AE=EF=x,于是BF=（+1）x.在直角三角形ABF中，tan∠
6、FAB==+1=tan67.5°.选B。【点评】根据折叠得到A、E关于折痕对称，从而根据轴对称的性质得到等腰三角形。求出两线段的长。(2012山东德州中考,7,3,)为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如下图形，其中，，AF交BE于D，C在BD上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC，∠ACB；②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC．能根据所测数据，求出A，B间距离的有（）（A）1组（B）2组（C）3组（D）4组ABCDEFF【解析】对于①，可由公
7、式AB=BC×tan∠ACB求出A、B两点间的距离；对于②，可设AB的长为x，则BC=，BD=，BD-BC=CD，可解出AB．对于③，易知△DEF∽△DBA，则，可求出AB的长；对于④无法求得，故有①、②、③三个，故选C．【答案】C．【点评】此题考查解直角三角形和三角形相似的性质与判定．在直角三角形中至少要有已知一边和一角才能求出其他未知元素；判定两三角形相似的方法有：AA，SAS，SSS，两直角三角形相似的判定还有HL．22题图（2012贵州铜仁，22，10分）如图，定义：在直角三角形ABC中，锐角的
8、邻边与对边的比叫做角的余切，记作ctan,即ctan=，根据上述角的余切定义，解下列问题：（1）ctan30◦=；（2）如图，已知tanA=，其中∠A为锐角，试求ctanA的值．【分析】（1）可先设最小边长为一个特殊数（这样做是为了计算方便），然后在计算出其它边长，根据余切定义进而求出ctan30◦。（2）由tanA=，为了计算方便，可以设BC=3AC=4根据余切定义就可以求出ctanA的值．【解析】（1）设BC=1,∵α=30◦∴AB=2
