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1、响水二中高三数学（理）一轮复习教案第七编不等式主备人张灵芝总第34期§7.4基本不等式:≤基础自测1.已知a＞0,b＞0，+=1，则a+2b的最小值为.答案7+22.（2009·常州武进区四校高三期中联考）若x,y∈R+，且x+4y=1,则x·y的最大值是.答案3.已知x＞0,y＞0，x,a,b,y成等差数列，x,c,d,y成等比数列，则的最小值是.答案44.x+3y-2=0，则3x+27y+1的最小值为.答案75.（2008·江苏，11）x,y,z∈R+，x-2y+3z=0,的最小值是.答案3例题精讲例1已知x＞0,y＞
2、0,z＞0.求证：≥8.证明∵x＞0,y＞0,z＞0,∴+≥＞0,+≥＞0.+≥＞0,∴≥=8.（当且仅当x=y=z时等号成立）例2（1）已知x＞0,y＞0，且+=1,求x+y的最小值；（2）已知x＜,求函数y=4x-2+的最大值；（3）若x,y∈(0,+∞)且2x+8y-xy=0，求x+y的最小值.解（1）∵x＞0,y＞0,+=1,∴x+y=(x+y)=++10≥6+10=16.当且仅当=时，上式等号成立，又+=1,∴x=4,y=12时，(x+y)min=16.（2）∵x＜,∴5-4x＞0,∴y=4x-2+=-+3≤-2
3、+3=1,213当且仅当5-4x=,即x=1时，上式等号成立，故当x=1时，ymax=1.(3)由2x+8y-xy=0,得2x+8y=xy,∴+=1,∴x+y=(x+y)=10++=10+2≥10+2×2×=18,当且仅当=,即x=2y时取等号，又2x+8y-xy=0,∴x=12,y=6,∴当x=12,y=6时，x+y取最小值18.例3某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定（平面图如图所示），如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为8
4、0元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计.（1）试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；（2）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价.解（1）设污水处理池的宽为x米，则长为米.则总造价f(x)=400×+248×2x+80×162=1296x++12960=1296+12960≥1296×2+12960=38880（元），当且仅当x=(x＞0),即x=10时取等号.∴当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，最低总造价为38880元.（2）由限制条件
5、知,∴10≤x≤16.设g(x)=x+.g（x）在上是增函数，∴当x=10时(此时=16),g(x)有最小值，即f(x)有最小值1296×+12960=38882(元).∴当长为16米，宽为10米时，总造价最低，为38882元.巩固练习1.已知,a,b,c均为正数，且a+b+c=1，求证：++≥9.证明++=++=3+++≥3+2+2+2=9.当且仅当a=b=c=时取等号.2132.若-4＜x＜1,求的最大值.解=·==-∵-4＜x＜1,∴-(x-1)＞0,＞0.从而≥2-≤-1当且仅当-(x-1)=，即x=2（舍）或x=
6、0时取等号.即=-1.3.甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过c千米/小时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(千米/小时）的平方成正比，比例系数为b;固定部分为a元.（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v(千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？解（1）建模：依题意知，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，全程运输成本为y=(a+bv2)=sb,v∈（0,c］.（2）依题意，有s,b,a,v都是正数
7、.因此y=sb≥2s;①若≤c,则当且仅当v=v=时,y取到最小值.②若≥c,则y在（0，c］上单调递减，所以当v=c时，y取到最小值.综上所述，为了使全程运输成本最小，当≤c时，行驶速度应该为v=；当≥c时，行驶速度应该为v=c.回顾总结知识方法思想课后作业一、填空题1.若不等式x2+ax+4≥0对一切x∈（0，1］恒成立，则a的取值范围是.答案a≥-52.若a,b,c＞0且a(a+b+c)+bc=4-2,则2a+b+c的最小值为..213答案2-23.已知0＜x＜1，则x(3-3x)取得最大值时x的值为.答案4.（20
8、08·栟茶中学模拟）若直线2ax+by-2=0（a,b∈R+）平分圆x2+y2-2x-4y-6=0，则+的最小值是.答案3+25.函数y=log2x+logx(2x)的值域是.答案（-∞，-1］∪［3，+∞）6.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元
