由递推数列求通项方法.doc

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1、§02高考递推数列题型分类归纳解析§01.求递推数列通项公式的十种策略例析递推数列的题型多样，求递推数列的通项公式的方法也非常灵活，往往可以通过适当的策略将问题化归为等差数列或等比数列问题加以解决，亦可采用不完全归纳法的方法，由特殊情形推导出一般情形，进而用数学归纳法加以证明，因而求递推数列的通项公式问题成为了高考命题中颇受青睐的考查内容。本文试给出求递推数列通项公式的十种方法策略，它们是：公式法、累加法、累乘法、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法、不动点法、特征根的方法。仔细辨析递推关系式

2、的特征，准确选择恰当的方法，是迅速求出通项公式的关键。根据我校学生的特点主要掌握前七种方法即可。有能力的同学，可以全面加以分析、研究。使此类问题得以较全面的解决。主要以自学为主，课堂上没有时间讲解。本资料是此类问题的精品版，希望同学们加以珍惜、研究，在高考中拿到应有的分数。切勿外借、翻印！注意每种方法对应的递推数列形式，是掌握方法的关键。递推数列分类：（按递推方程所含数列连续项的个数）1．由两个连续项的关系：及一个初始项所确定的数列，叫一阶递推数列。例如：；，等。2．由三个连续项的关系及两个初始项所确定的数

3、列，叫二阶递推数列。例如斐波那契数列：；再如等递推数列分类：（按递推方程各项所含数列连续项的次数）分为线性的和非线性的递推数列；若递推方程中，各，，……都是一次的，则叫线性递推数列。如二阶线性递推方程；否则就是非线性的，如都是二阶非线性递推数列。一、利用公式法求通项公式例1已知数列满足，，求数列的通项公式.解：两边除以，得，则，故数列是以为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式得，所以数列的通项公式为.评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进

4、而求出数列的通项公式.二、利用累加法求通项公式例2已知数列满足，求数列的通项公式.解：由得则所以数列的通项公式为评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式.例3已知数列满足，求数列的通项公式.-21-§02高考递推数列题型分类归纳解析解：由得则所以评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式.例4已知数列满足，求数列的通项公式.解：两边除以，得，则，故因此，则评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出+…+，即得数列的通项公式，最后再求数列的通项

5、公式.三、利用累乘法求通项公式例5已知数列满足，求数列的通项公式.解：因为，所以，则，则所以数列的通项公式为评注：本题解题的关键是把递推关系转化为，进而求出，即得数列的通项公式.例6（2004年全国15题）已知数列满足，则-21-§02高考递推数列题型分类归纳解析的通项解：因为①所以②所以②式－①式得，则,则所以③由，取得，则，又知，则，代入③得.评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为（n≥2），进而求出，从而可得当n≥2时的表达式，最后再求出数列的通项公式.四、利用待定系数法求通项公式例7已知数列满足，

6、求数列的通项公式.解：设④将代入④式，得，等式两边消去，得，两边除以，得，则x=－1，代入④式，得⑤由≠0及⑤式，得，则，则数列是以为首项，以2为公比的等比数列，则，故.评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式.例8已知数列满足，求数列的通项公式.解：设⑥将代入⑥式，得整理得.令，则，代入⑥式，得⑦由及⑦式，得，则，故数列是以为首项，以3为公比的等比数列，因此-21-§02高考递推数列题型分类归纳解析，则.评注：本题解题的关键是把递推

7、关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求数列的通项公式.例9已知数列满足，求数列的通项公式.解：设⑧将代入⑧式，得，则等式两边消去，得，则得方程组，则，代入⑧式，得⑨由及⑨式，得则，故数列为以为首项，以2为公比的等比数列.因此，则.评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式.五、利用对数变换法求通项公式例10已知数列满足，，求数列的通项公式.解：因为，所以.在式两边取常用对数得⑩设将⑩式代入式，得，两边消去

8、并整理，得，则，故代入式，得由及式，-21-§02高考递推数列题型分类归纳解析得，则，所以数列是以为首项，以5为公比的等比数列，则，因此，则.评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式.六、利用迭代法求通项公式例11已知数列满足，求数列的通项公式.解：因为，所以又，所以数列的通项公式为.评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数