2020年高考数学二轮优化提升专题训练考点31 数学归纳法及其应用（原卷word版）.doc

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1、2020年高考数学二轮优化提升专题训练考点31数学归纳法及其应用【知识框图】【自主热身，归纳总结】1、(2019南京三模）对由0和1这两个数字组成的字符串，作如下规定：按从左向右的顺序，当第一个子串“010”的最后一个0所在数位是第k(k∈N*，且k≥3)位，则称子串“010”在第k位出现；再继续从第k＋1位按从左往右的顺序找子串“010”，若第二个子串“010”的最后一个0所在数位是第k＋m位(其中m≥3且m∈N*)，则称子串“010”在第k＋m位出现；……；如此不断地重复下去．如：在字符串11010101010中，子串“010”在第5位和第9位出现，

2、而不是在第7位和第11位出现．记在n位由0，1组成的所有字符串中，子串“010”在第n位出现的字符串的个数为f(n)．(1)求f(3)，f(4)的值；(2)求证：对任意的正整数n，f(4n＋1)是3的倍数．2、(2019镇江期末）已知x，y为整数，且x>y>0，θ∈，n为正整数，cosθ＝，sinθ＝，记An＝(x2＋y2)ncosnθ，Bn＝(x2＋y2)nsinnθ.(1)试用x，y分别表示A1，B1；(2)用数学归纳法证明：对一切正整数n，An均为整数．3、(2019苏锡常镇调查（二））已知数列{an}，a1＝2，且an＋1＝a－an＋1对任意n∈

3、N*恒成立．求证：(1)an＋1＝anan－1an－2…a2a1＋1(n∈N*)；(2)an＋1>nn＋1(n∈N*)．4、(2018南通、泰州一调）(1)用数学归纳法证明：当x∈N*时，cosx＋cos2x＋cos3x＋…＋cosnx＝－(x∈R，且x≠2kπ，k∈Z)；(2)求sin＋2sin＋3sin＋4sin＋…＋2018sin的值．【问题探究，开拓思维】题型一运用数学归纳法证明等式知识点拨：运用数学归纳法证明等式要注意三个步棸：1、验证对于成立的第一个数，2、假设基础，3、通过假设基础验证n=n+1也成立。例1、(2019南京、盐城一模）已知数

4、列{an}满足a1＝1，a2＝3，且对任意n∈N*，都有a1C＋a2C＋a3C＋…＋an＋1C＝(an＋2－1)·2n－1成立．(1)求a3的值；(2)证明：数列{an}是等差数列．【变式1】(2019泰州期末）已知函数f(x)＝1－

5、2x－1

6、，0≤x≤1，设fn(x)＝fn－1(f1(x))，其中f1(x)＝f(x)，方程fn(x)＝0和方程fn(x)＝1根的个数分别为gn(0)，gn(1)．(1)求g2(1)的值；(2)证明：gn(0)＝gn(1)＋1.【变式2】(2017苏锡常镇调研（一））设

7、θ

8、＜，n为正整数，数列{an}的通项公式an＝si

9、ntannθ，其前n项和为Sn.(1)求证：当n为偶数时，an＝0；当n为奇数时，an＝(－1)tannθ；(2)求证：对任何正整数n，S2n＝sin2θ·[1＋(－1)n＋1tan2nθ]．【变式3】(2016南京三模）在平面直角坐标系xOy中，点P(x0，y0)在曲线y＝x2(x＞0)上．已知点A(0，－1)，Pn(x，y)，n∈N*.记直线APn的斜率为kn.(1)若k1＝2，求P1的坐标；(2)若k1为偶数，求证：kn为偶数．23.(1)先求得kn＝x＋.题型二运用数学归纳法证明不等式知识点拨：运用数学归纳法证明不等式处理运用假设基础，最关键的是

10、要用到放缩法进行缩小或者放大。有时也要运用综合法、分析法进行证明。例2、(2019苏北三市期末）已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝－2a＋2an，n∈N*.(1)用数学归纳法证明：an∈；(2)令bn＝－an，证明：≥3n＋1－3.【变式1】(2019苏锡常镇调查（一））已知f(n)＝＋＋＋…＋，g(n)＝＋＋＋…＋，其中n∈N*，n≥2.(1)求f(2)，f(3)，g(2)，g(3)的值；(2)记h(n)＝f(n)－g(n)，求证：对任意的m∈N*，m≥2，总有h(2m)>.【变式2】(2019南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港二调）已知a

11、1，a2，…，an(n∈N*，n≥4)均为非负实数，且a1＋a2＋…＋an＝2.证明：(1)当n＝4时，a1a2＋a2a3＋a3a4＋a4a1≤1；(2)对于任意的n∈N*，n≥4，a1a2＋a2a3＋…＋an－1an＋ana1≤1.【变式3】(2019无锡期末）已知数列{an}满足a1＝，＝(n≥2)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{an}的前n项和为Sn，用数学归纳法证明：Sn

12、出参数，或者归纳出解析式，然后再运用数学归纳法给与证明。例3、(2019常州期末