数学转化思想.doc

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1、转化思想转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想，在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题，我们也常常在不同的数学问题之间互相转化，可以说在解决数学问题时转化思想几乎是无处不在的。例题分析例1解方程组分析：从表面上看此题属于二元三次方程组的求解问题，超过我们所掌握的知识范围，但仔细分析可将方程组变形为，再利用换元法，问题就迎刃而解了。解：设原方程组可化为解之，得即解之，得例2若m、n、p同时满足下面二式：，求的取值范围。分析：直接利用已知条件中的

2、两个等式得到的取值范围不好下手，如果换个角度考虑可变形为，令，，，则已知条件可转化为方程组，进而找到a、b与c的关系，可以确定所求式子的取值范围。解：设，则由(1)、(2)可得(3)(4)此时，(5)由(3)得，由(4)得由(5)得例3如图，中，BC＝4，，P为BC上一点，过点P作PD//AB，交AC于D。连结AP，问点P在BC上何处时，面积最大？分析：本题从已知条件上看是一个几何问题，而求最大值又是一个代数问题，因此把几何问题转化为代数中的函数问题是解题的关键，为了完成这种转化，需要把位置关系转化为数量关系，得出函数解读式。解：设BP＝x，的面积

3、为y作于H则化简得配方得即P为BC中点时，的面积最大这时的面积最大值为例4已知二次函数过点O(0，0)，A()，B()和C()四点。(1)确定这个函数的解读式及m的值；(2)判断的形状；(3)若有一动圆⊙M，点M在x轴上，与AC相切于T点，⊙M和OA、OC分别交于点R、S，求证弧长为定值。分析：(1)由于二次函数过三个定点，因此可以利用待定系数法确定函数的解读式，进而求出m的值。(2)分别计算出OA、OC、AC的长即可判定的形状。(3)这一问综合性较强，需要根据条件列出点的坐标，再利用方程和距离公式求解。解：(1)的图象过点O(0，0)、A()、B

4、()解得二次函数解读式为的图象过点(2)是等边三角形(3)设点M的坐标为(P，0)⊙M与AC相切于T点⊙M的半径为若⊙M与OA、OC分别交于则由(1)、(2)知，是方程的两个根即的两根为是等边三角形，的弧长为（定值）说明：本例是一个综合问题，尤其是第(3)小题体现了代数与几何的综合，需将几何中的点用坐标表示出来，再通过代数方法列出方程通过距离公式确定的形状，从而确定的度数，最后计算出的弧长。例5如图，两圆同心，大圆的弦AD交小圆于B、C两点，AE切小圆于点E，连结CE，直线BE交大圆于P、Q两点，已知BE＝AE＝b，AB＝a。求证：(1)CD、CE

5、的长是方程的两个根；(2)求PB的长。分析：此例不仅把线段CD、CE的长作为关于x的一元二次方程的根，还将含线段长a、b的代数式作为方程的系数，所以解此例的关键是用几何知识寻找线段CD、CE与实数a、b的等量关系，用含a、b的代数式表示CD、CE的长。略解：(1)依题意，可证得CE＝AC由切割线定理，得，即又CD＝AB＝a的长是方程的两个根(2)由相交弦定理，得即解得（不合题意，舍去）易错题分析例1.四边形ABCD中，，AC平分，，，求BC和AB的长。分析：本题是四边形问题，通常要转化为直角三角形来解决。由已知，AC平分，所以想到由C点作于E，作于

6、F。由已知可求出CF，由，可知CE的长，通过解可求出BC的长。BE也可求，再通过解由勾股定理求出AE的长，这样，AB的长就求出来了。解：作于E，于F在中，在中，由勾股定理，综上所述：。点评：本题有的同学没有思路，但如果想到由已知，想到作AD边上的高线，再由AC平分想到从C点作角的两边的垂线段，总之，把四边形转化为直角三角形解决问题。例2.四边形ABCD中，，，，，求AB。分析：本题是四边形问题，可以通过分割或补全直角三角形进行转化，从而解决问题。解：过D点作的延长线于E，若为钝角，作延长线于F，（若为锐角，作于F，同理）在中，，，，四边形EBFD是

7、矩形在中，点评：本题通过分割或补全直角三角形来求解四边形，注意对的讨论。有可能是锐角、直角或钝角，但无论是什么角，都不影响解题的结果。例3.在四边形ABCD中，，，，求CD的长。分析：本题也是四边形问题，需要转化为直角三角形解决。解：若是锐角，（是钝角或直角同理）过C点作于F，过C点作的延长线于E。四边形AECF是矩形在中，在中，点评：以上三个题组成一个题组，都是解四边形的问题。在四边形中，常常通过分割或补全直角三角形来求解四边形。其实质就是把四边形的问题转化为直角三角形的问题，所运用的数学思想就是转化的思想。以上三题容易错的地方是如何把四边形通过

8、分割或补全直角三角形，另外要注意计算不要出错。练习一.选择题：1.若x、y都是实数，且，则的值是（）A.12B.－12C.