线性规划的对偶理论与灵敏度分析 习题二.doc

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1、线性规划的对偶理论与灵敏度分析习题二1．题目：写出下列线性规划问题的对偶问题（1）s.t.解答：s.t.令s.t.13s.t.(2)s.t.解：s.t.令s.t.13s.t.2题目：写出下列（P）的对偶问题（D）s.t.用讨论（D）的方法（不准用单纯形法求解），给出（P）的最优值13解：s.t.4显而易见，当时，当U1=7/5时，符合条件，即maxz=60×7/5=84，所以，因此（D）的最优值为84，根据对偶性定理可知（P）最优值也为84.3、用对偶理论来说明下列线性规划的目标函数无下界：（P）s.t.Xj无限制，j-1,2,3解：写出（D）s.

2、t.13由于且，故（D）无可行解而对于（P），显然，故即目标函数无下界。4．设(LP):min{CTX︱AX=b，x≥0}有最优解，又(LP，)：min{CTX︱AX=b，，x≥0}有可行解其中b≠b，，试用对偶理论证明(LP，)必有最优解证明：(LP)minf=CTX(LP，)minf，=CTXs.t.AX=bs.t.AX=b，x≥0x≥0(LD)maxZ=bTU(LD，)maxZ，=（b，）TUs.t.ATU≤Cs.t.ATU≤CU∈（-∞，+∞）U∈（-∞，+∞）∵（LP）有最优解,根据对偶理论，（LP）和(LD)都有可行解。而(LD)和(L

3、D，)的可行域是一样的。根据已知条件，现在(LP，)有可行解。于是，(LP，)和(LD，)都有可行解，根据对偶理论，(LP，)和(LD，)都有最优解。5、现有一个线性规划问题（P1）：maxf1=CTXs.t.AX≤bx≥0其对偶问题有最优解：U*=（U1*，……，Um*）。另一线性规划（P2）maxf2=CTXs.t.AX≤b+dx≥0其中d=(d1,…,dm)T。求证：maxf2≤maxf1+dTU*证明：分别写出它们的对偶问题(D1)和(D2)minZ1=bTUminZ2=(b+d)TUs.t.ATU≥Cs.t.ATU≥C(D2)u≥0(D1

4、)u≥0　显然，u*∈KD2∴bTU*+dTU*≥minZ2=maxf2而bTU*=maxf1于是有maxf1+dTU*≥maxf2137．题目：用对偶单纯形法求解下列线性规划s.t.解：s.t.13108．某线性规划问题为maxz=c1x1+c2x2+c3x3s．t．AX≤bX=（x1，x2，x3）≥0将它化成标准型后可得它的一张单纯形表，如表所示，其中x4，x5为松弛变量。13（1）写出原有线性规划问题；（2）写出对偶问题；解：由检验数公式可知：-c2-1/2c3-1/2c1=4，1/2c3-1/6c1=4，1/3c1=2得c1=6c2=-1

5、2c3=10。根据表知道：原线性规划maxz=6x1-12x2+x3s．t．-x2+2x3≤53x1-2x2+x3≤10xj≥0j=1，2，3对偶问题minf=5u1+10u2s．t．u2≥2u1+2u2≤122u1+u2≥10ui≥0I=1，2139.若第一章习题一第1题的标准型的最优单纯形表为。（1）试问和各在何范围内变动，最优解不变。（2）若工厂的最优生产计划仍然是两种产品都生产，试分析确定三种资源的变化范围及影子价格。解答：由(1)得此时最优解不变(2)1310题目：若习题一中第2题的标准型的最优单纯形表为13解答：11题目：13某工厂生产

6、两种产品，分别需在A，B，C，D设备上加工有关数据如下表所示它的标准型的最优解为：假定B设备增加10个台时所需的费用为12，问增加B设备10个台时是否合算？若能增加利润，能增加多少？解答：13即：13