正弦定理和余弦定理(含解析).doc

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1、第七节正弦定理和余弦定理[知识能否忆起]1．正弦定理分类内容定理＝＝＝2R(R是△ABC外接圆的半径)变形公式①a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C，②sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c，③sinA＝，sinB＝，sinC＝解决的问题①已知两角和任一边，求其他两边和另一角，②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角2．余弦定理分类内容定理在△ABC中，有a2＝b2＋c2－2bccos_A；b2＝a2＋c2－2accos_B；c2＝a2＋b2－2abcos_C变形公式cosA＝；cosB＝；cosC＝解决的问题①已知三边，

2、求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角3．三角形中常用的面积公式(1)S＝ah(h表示边a上的高)；(2)S＝bcsinA＝acsinB＝absinC；(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．[小题能否全取]1．(2012·广东高考)在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝3，则AC＝(　　)A．4　　　　　　　B．2C.D.解析：选B　由正弦定理得：＝，即＝，所以AC＝×＝2.2．在△ABC中，a＝，b＝1，c＝2，则A等于(　　)A．30°B．45°C．60°D．75°解析：选C　∵cosA＝＝＝，又∵0°

3、

4、_____．解析：设BC＝x，由余弦定理得49＝25＋x2－10xcos120°，整理得x2＋5x－24＝0，即x＝3.因此S△ABC＝AB×BC×sinB＝×3×5×＝.答案：　　(1)在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A>B⇔a>b⇔sinA>sinB.(2)在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinAb解的个数一解两解一解一解利用正弦、余弦定理解三角形典题导入[例1]　(2012·浙江高考)在△ABC中，内角

5、A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA＝acosB.(1)求角B的大小；(2)若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值．[自主解答]　(1)由bsinA＝acosB及正弦定理＝，得sinB＝cosB，所以tanB＝，所以B＝.(2)由sinC＝2sinA及＝，得c＝2a.由b＝3及余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得9＝a2＋c2－ac.所以a＝，c＝2.在本例(2)的条件下，试求角A的大小．解：∵＝，∴sinA＝＝＝.∴A＝.由题悟法1．应熟练掌握正、余弦定理及其变形．解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用

6、哪一个定理更方便、简捷．2．已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．以题试法1．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝a.(1)求；(2)若c2＝b2＋a2，求B.解：(1)由正弦定理得，sin2AsinB＋sinBcos2A＝sinA，即sinB(sin2A＋cos2A)＝sinA.故sinB＝sinA，所以＝.(2)由余弦定理和c2＝b2＋a2，得cosB＝.由(1)知b2＝2a2，故c2＝(

7、2＋)a2.可得cos2B＝，又cosB>0，故cosB＝，所以B＝45°.利用正弦、余弦定理判定三角形的形状典题导入[例2]　在△ABC中a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.(1)求A的大小；(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．[自主解答]　(1)由已知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)·b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，故cosA＝－，∵0

8、B＋sin2C＋sinBsinC＝.又sinB＋sinC＝1，解得sinB＝sinC＝.∵0°