线性代数课件41向量组的线性相关性.ppt

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1、第四章向量组的线性相关性§1向量组及线性表示目的要求（3）理解向量的线性组合、线性表示概念；（1）了解向量概念；（2）掌握向量加法、数乘运算法则；（4）掌握线性方程组与线性表示的关系.一、n维向量的概念分量全为复数的向量称为复向量.分量全为实数的向量称为实向量，默认为实向量1.定义：例如n维实向量n维复向量第1个分量第n个分量第2个分量2、n维向量的表示方法维向量写成一行，称为行向量，也就是行维向量写成一列，称为列向量，也就是列矩阵，通常用等表示，如：矩阵，通常用等表示，如：注意１．行向量和列向量总被

2、看作是两个不同的向量；２．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算；３．当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作列向量.3、向量的几何意义：d.四维以上向量集合，无具体几何意义.叫做维向量空间．叫做维向量空间　中的维超平面．a.一维向量集合----数轴；b.二维向量集合----平面；c.三维向量集合----空间；4.特殊向量（与矩阵类比可知）a.零向量：b.负向量：c.n维单位坐标向量组：思考题比如一个本科学生大学阶段共修36门课程,成绩描述了学生的学业水平，把他的学业水平用一个向量来表示，这个向

3、量是几维的？请大家再多举几例,说明向量的实际应用．在日常工作、学习和生活中，有许多问题都需要用向量来进行描述.比如平均成绩、总学分等，维数还将增加．答36维的．如果我们还需要考察其它指标，5.向量组：若干个同维数的向量所组成的集合叫做向量组.行向量组列向量组默认为列向量组有限个向量无限个向量先讨论有限个向量m个n维列向量构成向量组称为向量组，或者称为向量组A,或者称为向量组6.有限个向量的向量组与矩阵一一对应行向量组列向量组7、线性方程组的向量表示：线性方程组与增广矩阵的列向量组一一对应二、向量的运算

4、转置、相等、加法、数乘、乘法；运算律例：设求（特殊矩阵）解三、线性组合与线性表示定义，对于任何一组实数给定向量组，称向量为向量组A的线性组合.，称为线性组合的系数.称可由线性表示.若不存在系数给定向量组A：若存在一组系数使得成立，则称是的一个线性组合和向量不能由线性表示.称使（*）成立能否线性表示，只需看注：能找到实数组能表示；找不到则不能表示.是否成立举例：（1）零向量线性表示；（2）能由线性表示；（3）中任何一个向量线性表示；都能由能由(4)设判断线性表示.能否由解：设即线性表示.不能由不存在,线

5、性表示判定方法向量有解；其中能由线性表示解一：设(5)设判断线性表示.能否由即线性表示能由，且表示方式唯一解二：设即线性表示能由(5)设判断线性表示.能否由已知向量向量组问向量b能否由向量组A线性表示?(6)设解：设因此向量b不能由向量组A线性表示.证明：向量b能由向量组并求出表示式.线性表示，(7)设证明令故方程即的解为四、向量组的线性表示与等价定义两个向量组若向量组B中每个向量都可由向量组A线性表示，则称向量组B能由向量组A线性表示.若向量组B与向量组A能相互线性表示，则称向量组B与向量组A等价.

6、使得存在数向量组B能由向量组A线性表示，即对每个向量若记从而矩阵称为线性表示的系数矩阵向量组B能由向量组A线性表示B中每个向量都可由向量组A线性表示存在系数矩阵K，使得B=AK矩阵方程AX=B有解R(A)=R(A,B)向量组B与向量组A等价矩阵方程AX=B和BY=A都有解R(A)=R(A,B)=R(B)举例能由但不等价.线性表示，(1)与等价.(2)已知向量组证明：向量组A与向量组B等价.和(3)证：令因此向量组A与向量组B等价.证：(4)五、矩阵乘法与向量组的线性表示关系说明：矩阵C的列向量组能由矩

7、阵A的列向量组线性表示，表示的系数矩阵为B.说明：矩阵C的行向量组能由矩阵B的行向量组线性表示，表示的系数矩阵为A.六、矩阵等价与向量组等价关系：七、方程组的线性表示与等价：已知方程组A和方程组B，对方程组A的各个方程做线性运算得到的方程称为方程组A的一个线性组合；若方程组B的每个方程都是方程组A的线性组合就称方程组B能由方程组A线性表示，都是B的解；此时A的解若方程组A与方程组B能相互线性表示，两个方程组等价；就称这等价的方程组一定同解.八、与方程组有解等价的命题线性方程组有解向量b能由向量组线性表

8、示向量组与向量组等价矩阵矩阵与秩相等