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1、§5子空间的交与和直和主要内容子空间的定义子空间的交与和目录下页返回结束子空间的直和1子空间的定义定义7数域P上线性空间V的一个非空子集合W称为V的一个线性子空间(或简称子空间),如果W对于V中所定义的加法和数量乘法两种运算也构成数域P上的线性空间.首页上页下页返回结束2二、非空子集构成子空间的条件设W是V的子集合.因为V是线性空间.所以对于原有的运算，W中的向量满足线性空间定义中的八条规则中的规则1),2),5),6),7),8)是显然的.为了使W自身构成一线性空间,主要的条件是要求W对于V中原来运算的封闭性,以及规则3)与4)成立.即1.W对数量乘法运算封闭
2、，即若W,kP,则kW.2.W对加法运算封闭，即若W,W，则+W.首页上页下页返回结束33.0W.4.若W,则-W.不难看出3,4两个条件是多余的,它们已经包含在条件1中,作为k=0与-1这两个特殊情形.因此,我们得到定理2如果线性空间V的非空子集合W对于V的数量乘法和加法两种运算是封闭的，那么W就是一个子空间.即：设W是线性空间V的一个非空子集.如果1)(W对加法封闭)2)(W对数量乘积封闭)则W是V的一个子空间.首页上页下页返回结束4既然线性子空间本身也是一个线性空间，上面我们引入的概念，如维数、基、坐标等，当然也可以应用到
3、线性子空间上.因为在线性子空间中不可能比在整个空间中有更多数目的线性无关的向量.所以,任何一个线性子空间的维数不能超过整个空间的维数.定理2可改写成:首页上页下页返回结束5例1在线性空间中，由单个的零向量所组成的子集合是一个线性子空间，它叫做零子空间.例2线性空间V本身也是V的一个子空间.在线性空间中，零子空间和线性空间本身这两个子空间有时候叫做平凡子空间，而其它的线性子空间叫做非平凡子空间.例3在全体实函数组成的空间中,所有的实系数多项式组成一个子空间.例4P[x]n是线性空间P[x]的子空间.首页上页下页返回结束6的全部解向量组成一个子空间，这个子空间叫做齐
4、次线性方程组的解空间.解空间的基就是方程组的基础解系，它的维数等于n-r,其中r为系数矩阵的秩.首页上页下页返回结束7首页上页下页返回结束8例7证明集合W={(0,x2,x3,…,xn)
5、x2,x3,…,xnR}是Rn的子空间，并求它的一组基，确定它的维.解任取1=(0,a2,a3,…,an)W,1=(0,b2,b3,…,bn)W,首页上页下页返回结束9kR为任意实数.因为1+1=(0,a2+b2,a3+b3,…,an+bn)W,k1=(0,ka2,ka3,…,kan)W,即W对加法和数量乘法都是封闭的，所以W是Rn的子空间.取e2=(0,
6、1,0,…,0),e3=(0,0,1,…,0),…………..en=(0,0,0,…,1).首页上页下页返回结束10显然e2,e3,…,enW,且线性无关，又因为W中任一向量=(0,a2,a3,…,an)，有=a2e2+a3e3+…+anen，所以e2,e3,…,en即为W的一组基,W的维是n–1.首页上页下页返回结束11三、生成子空间设1,2,…,r是线性空间V中一组向量，这组向量所有可能的线性组合k11+k22+…+krr所成的集合是非空的,而且对两种运算封闭,因而是V的一个子空间，这个子空间叫做由1,2,…,r生成的子空间,记为L(
7、1,2,…,r).关于向量组生成的子空间，有1)设W是V的一个子空间,且W包含1,2,…,r则首页上页下页返回结束12L(1,2,…,r)W.2)设V是一个有限维线性空间,W是V的一个子空间,则W也是有限维的.设1,2,…,r是W的一组基，就有W=L(1,2,…,r).首页上页下页返回结束13定理31)两个向量组生成相同子空间的充分必要条件是这两个向量组等价.2)L(1,2,…,r)的维数等于向量组1,2,…,r的秩.证1)设1,2,…,r与1,2,…,s是两个向量组.如果L(1,2,…,r)=L(1
8、,2,…,s),那么每个向量i(i=1,2,…,r)作为L(1,2,…,s)中的向量都可以被1,2,…,s线性表出;首页上页下页返回结束14同样每个向量j(j=1,2,…,s)作为L(1,2,…,r)中的向量也都可以被1,2,…,r线性表出，因而这两个向量组等价.如果这两个向量组等价,那么凡是可以被1,2,…,r线性表出的向量都可以被1,2,…,s线性表出，反过来也一样，因而L(1,2,…,r)=L(1,2,…,s).2)设向量组1,2,…,r的秩是s,而1,2,…,s(sr)是它的一个极大线
9、性无关组.因首页上页下页
