[高一数学]16 三角函数模型的简单应用.ppt

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1、§1.6三角函数模型的简单应用自学导引(学生用书P33)通过本节课的学习,了解三角函数模型在现实生活中的一些应用,学会用三角函数作为模型刻画现实中的一些周期现象,并能应用三角函数知识解决一些实际问题.课前热身(学生用书P33)1.如果某种变化着的现象具有__________性,那么它就可以借助三角函数来描述.2.三角函数作为描述现实世界中__________现象的一种数学模型,可以用来研究很多问题,在刻画__________变化规律､预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用.3.我们可以利用搜集到的数据,作出相应的________

2、__,通过观察__________并进行__________而获得具体的函数模型,最后利用这个__________来解决相应的实际问题.周期周期周期散点图散点图函数拟合函数模型名师讲解(学生用书P33)1.三角函数模型的应用(1)根据图象求出函数解析式.(2)根据函数解析式作出图象.(3)将实际问题抽象为与三角函数有关的函数模型.(4)利用收集的数据作出散点图,并根据散点图进行函数拟合,从而得到函数模型.2.解答三角函数应用题的一般步骤(1)审题:问题的给出一般是文字语言与图形语言,认真审题领悟其中的数字本质.(2)建立三角

3、函数模型:根据“审题”获得的信息转化成抽象的数学问题,建立三角函数式或三角不等式或三角方程.(3)解决三角函数模型:应用所学的三角知识,解决数学问题.(4)作出结论:将得到的数学答案,依据实际问题作出相应的结论.典例剖析(学生用书P33)题型一利用三角函数的图象解决问题例1:如果某地夏天从8~14时用电量变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b,如图所示.(1)求这一天的最大用电量和最小用电量;(2)写出这段曲线的函数解析式.分析:利用y=Asin(ωx+φ)+b的图象和性质.解:(1)观察图象知这一题中的最大用电量

4、为50万度,最小用电量为30万度.(2)观察图象可知,半个周期为规律技巧:确定函数关系式y=Asin(ωx+φ)就是确定其中的参数A､ω､φ等,从图象的特征上找答案,A主要由最值确定,ω是由周期确定,周期T通过特殊点观察图象求得,如相邻的最大值,最小值相差半个周期,φ又由图象上的点求得,确定φ值时,要注意它的不惟一性,一般求

5、φ

6、中最小的φ.变式训练1:函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图象如下图所示,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2008)的值等于()C.0D.不能确定解析:本题为图象信息题,由图

7、象知周期为8.由图象的对称性知,f(1)+f(2)+…+f(8)=0.又2008=251×8.∴原式=0.答案:C题型二三角函数模型在物理学中的应用例2:如下图所示,某大风车的半径为2m,每12s旋转一周,它的最低点O离地面0.5m,风车圆周上一点A从最低点O开始运动ts后与地面的距离为hm.(1)求函数h=f(t)的关系式;(2)画出函数h=f(t)的图象.分析:本题具有周期性,可用函数y=Asin(ωx+φ)+b或y=Acos(ωx+φ)+b进行模拟.解:(1)如上图,以O为原点,过点O的圆的切线为x轴,建立直角坐标系,设A

8、点的坐标为(x,y),则h=y+0.5.规律技巧:根据题目的特点,恰当的建立坐标系,可使问题简化,作图时如没有要求,可作出示意图.变式训练2:如下图弹簧挂着的小球作上下振动,时间t(s)与小球对于平衡位置(即静止时状态)的高度h(cm)之间的关系式是t∈[0,+∞).画出这个函数在长度为一个周期的闭区间上的简图,回答下列问题.(1)小球开始振动的位置在哪里?(2)小球最高､最低点与平衡位置的距离分别为多少?(3)经过多长时间小球往复振动一次(即周期是多少)?(4)小球每1s能往复振动多少次?解:一个周期长度的图象如下图.题型三

9、求模拟函数解析式例3:受日月引力,海水会发生涨落,在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近船坞;卸货后落潮时返回海洋,某港口水的深度y(m)是时间t(0≤t≤24,单位:h)的函数,记作y=f(t),下面是该港口在某季节每天水深的数据:经长期观察,y=f(t)曲线可以近似地看做函数y=Asinωt+k的图象.t(h)03691215182124y(m)10.013.09.97.010.013.010.17.010.0(1)根据以上数据,求出函数y=f(t)的近似表达式;(2)一般情况下,船舶航行时,船底离海底的距离为5m或5m以上

10、认为是安全的(船舶停靠时,船底只需不碰海底即可),某船吃水深度(船底离水面距离)为6.5m.如果该船在同一天内安全进出港,问它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需的时间)?分析:可先根据给出的数据在坐标系中作出散点图,再结合几点关