复变函数6.2用留数计算实积分.ppt

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1、6.2用留数定理计算实积分表示cos(),sin()的有理函数,并且在上连续.当经历变程[0,2]时,z沿圆周

2、z

3、=1的正方向绕行一周.因此有这里R(cos,sin)方法:令(这里关键的一步是引进变数代换z=ei,至于被积函数在[0,2]上的连续性可不必先检验,要看变换后的被积函数在

4、z

5、=1上是否有奇点.)右端是z的有理函数的周线积分,并且积分路径上无奇点,应用留数定理就可求得其值.例6.7计算积分解(1)p=0时令：z=ei(2)以下设p01)

6、p

7、<1时2)

8、p

9、>1时3)p=1时无法算！瑕积分！4)

10、

11、p

12、=1,p1时自己讨论！例6.2.2计算积分(a>1)。解：令而且t从0增加到2时，z按反时针方向绕圆C:

13、z

14、=1一周。因此于是只需计算在

15、z

16、<1内极点处的留数显然不难发现,f(z)共有两个一阶极点：于是求得例2计算的值.解：令例3解：引理6.1设f(z)沿圆弧一致成立(即与中的无关),则上连续(图6.3),且于SR上(6.9)OxRSR图6.3证因为(6.10)使当时,有不等式(6.9)为互素的多项式,且合条件:定理6.7设为实的有理分式,其中(6.11)(1)n-m≥2;证首先，f(z)=P(z)/Q(z)只可能有

17、有限个孤立奇点即Q(z)的零点：a1,a2,…,akOx.a2.ak.a1y.a3.a4z所以由Cauchy法则,知(图6.4).于是,由线段[-R,R]及R合成一周线CR取上半圆周作为辅助曲线存在,且Ox.a2.ak.a1y.a3.a4z图6.4-RR先取R充分大,使CR内部包含f(z)在上半平面内的一切孤立奇点(实际上只有有限个极点).CRR而由条件(2),f(z)在CR上没有奇点.CR=[-R,R]+R按留数定理得或写成因为(6.12)由假设条件(1)知n-m-1≥1,故沿R上就有:

18、zf(z)

19、0(R+∞).在

20、等式(6.12)中命R+∞,并根据引理6.1,例6.11设a>0，计算积分解：共有四个一阶极点,其中只有a0,a1在上半平面上,于是：例6.12设a,b>0，计算积分解：这里共有四个一阶极点为±ai,±bi,其中只有ai,bi,在上半平面内例6.2.5计算积分解：考虑函数在上半平面上有一个二阶极点i。例4例5解：引理6.2(约当Jordan引理)设：①g(z)沿半圆周上连续,②在上一致成立.则证对于任给的>0,R0>0,使当R>R0时,有于是,就有R(6.13)这里利用了以及于是,由(约当不等式)将(6.13)化为

21、(6.14)特别说来,将(6.14)分开实虚部,就可以得到形如:定理6.8设满足条件:(0)（Q(z)，P(z))=1(1)0(Q(z))>0(P(z))(2)Q(x)≠0,xR(3)m>0.的积分。证即Q(z)的零点：a1,a2,…,akg(z)只可能有有限个孤立奇点(图6.4).于是,由线段[-R,R]及R合成一周线CR取上半圆周作为辅助曲线先取R充分大,使CR内部包含g(z)在上半平面内的一切孤立奇点(实际上只有有限个极点).而由条(2),f(z)=g(z)eimz在CR上没有奇点.按留数定理得或写成(6.12

22、)Ox.a2.ak.a1y.a3.a4z图6.4-RRCRR先取R充分大,使CR内部包含g(z)在上半平面内的一切孤立奇点(实际上只有有限个极点).因为(6.12)由假设条件(1)知n-m≥1,故沿R上就有:

23、zg(z)

24、0(R+∞).在等式(6.12)中命R+∞,并根据引理6.2,例6.13计算积分解:而故先计算下列积分例6.14计算积分解：例6计算的值.[解]这里m=2,n=1,m-n=1.R(z)在实轴上无孤立奇点,因而所求的积分是存在的.在上半平面内有一级极点ai,,(充分小)上连续,且引理6.3设f(z)沿圆

25、弧证因为与引理6.1的证明相仿,得知上式存在r充分小时,其值不超过任意给定的正数.于Sr上一致成立,则有于是有图6.3arSr例4计算积分的值.[解]因为是偶函数,所以为了使积分路线不通过原点,取如下图所示的路线.由柯西积分定理,有CrCRyxO-rrR-RCrCRyxO-rrR-R令x=-t,则有因此,要算出所求积分的值,只需求出极限下面将证明也可直接证明由于所以j(z)在z=0处解析,且j(0)=i,当

26、z

27、充分小时可使

28、j(z)

29、2,而由于在r充分小时,Drichlit积分例题例6.17.计算积分解：若b=0,则：b≠

30、0,时，不妨设b>0：故可取辅助函数并取如图所示的积分路径Oxy-RRABCD则由Cauchy积分定理得：在BC上：z=R+iy(0≤y≤b/(2a)b/(2a)在BC上：z=R+iy(0≤y≤b/(2a)Oxy-RRABCDb/(2a)在AD上：