初中培优竞赛 第8讲 不等式与不等式组.docx

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1、第8讲不等式与不等式组一、选择题1、（2、3）（数学、初中数学竞赛、选择题、不等式、不等式组）甲从一个鱼摊上买了三条鱼，平均每条a元；又从另一个鱼摊上买了两条鱼，平均每条b元，后来他又以每条a+b2元的价格把鱼全部卖给了乙，结果发现赔了钱，原因是()A.a>bB.a5(a+b)2成立，可以解得a>b.答案：A.技巧：根据题意列出不等式，然后化简，是解这类题的一般思路。易错点：做这种题容易凭主观判断解答而致错。2、（3、4）（数学、初中数学竞

2、赛、选择题、不等式、不等式组）已知

3、y

4、≤1，且2x+y=1，则2x2+16x+3y2的最小值是()A.197B.3C.277D.13解析：2x2+16x+3y2=2x2+16x+3(1-2x)2=14x2+4x+3，又因为

5、1-2x

6、≤1，所以0≤x≤1，故最小值为3.答案：B.技巧：根据题目条件消去一个未知数，将二元化为一元再来求最值是解这类问题常用的方法。易错点：求最值的时候容易忽视未知数的限定范围而致错。3、（3、4）（数学、初中数学竞赛、选择题、不等式、不等式组）若方程组kx+2y=82x-y=20(k为整数）的解满足x>0,y>0，则k的值是()

7、A.-3，-2，-1，0B.-2,-1,0,1C.所有正整数D.所有负整数解析：解方程组kx+2y=82x-y=20得x=48k+4y=4(4-5k)k+4，由x>0,y>0得48k+4>04(4-5k)k+4>0,解得-4

8、数为P，若a>b>c，则M与P的大小关系是_____________。解析：因为M=a+b+c3,N=a+b2,P=N+c2=a+b+2c4⋅所以M-P=a+b-2c12⋅又因为a>b>c，所以a+b>2c.即M-P>0，M>P.答案：M>P.技巧：比较大小可以用作差法或者作商法——作差法是比较两式的差与0的大小，而作商法是比较两式的商与1的大小（分母的符号必须确定）。易错点：在应用作商法比较大小的时候容易忽视分母的符号问题而致错。5、（4、5）（数学、初中数学竞赛、填空题、不等式、不等式组）已知x，y为实数，且12≤x2+4y2≤2，设z=x2-2xy+4

9、y2，则z的取值范围是_____________。解析：因为2≥x2+4y2≥-4xy,故-2xy≤1，所以x2-2xy+4y2≤2+1=3.又2xy≤x2+4y22，故x2+4y2-2xy≥x2+4y2-x2+4y22=12(x2+4y2)≥14，故14≤x2-2xy+4y2≤3.答案：14≤z≤3.技巧：由于(a-b)2=a2-2ab+b2≥0，故有a2+b2≥2ab对于任意的实数a,b都成立（当且仅当a=b时取等号）。这个结论在不等式问题中的应用非常广泛。易错点：在求范围时容易忽视等号是否能取得的问题而使得范围扩大。6、（3、4）（数学、初中数学竞赛、

10、填空题、不等式、不等式组）若实数a满足a31-ax的解为______________。解析：因为a30⇒aa+1a-1<0aa-1>0⇒a<-1a<0或a>1.解这个不等式得a<-1，则a+1<0.所以由x+a>1-ax得1+ax>1-a⇒x<1-a1+a⋅答案：x<1-a1+a.技巧：先求参数范围，再解含参数的一元一次不等式。易错点：解这类含参数的不等式问题时容易忽视参数的取值范围而致错。三、解答题7、（3、4）（数学、初中数学竞赛、解答题、不等式、不等式组）求不等式2x+33x+5>2

11、x

12、

13、-33

14、x

15、-5的解.分析：含有绝对值的不等式，可以通过分类讨论的办法去掉绝对值再来求解，最后综合。详解：若x≥0，且x≠53，则不等式为2x+33x+5-2x-33x-5>0⇒-2x(3x+5)(3x-5)>0⇒3x-5<0且x>0⇒00⇒0>0，矛盾.故不等式的解是0

16、