高考数学（理科）一轮复习两角和与差的正弦、余弦和正切公式学案

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1、高考数学（理科）一轮复习两角和与差的正弦、余弦和正切公式学案学案21　两角和与差的正弦、余弦和正切公式导学目标：1会用向量数量积推导出两角差的余弦公式2能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式3能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式4熟悉公式的正用、逆用、变形应用．自主梳理1．(1)两角和与差的余弦s(α＋β)＝_____________________________________________，s(α－β)＝_________________________________

2、____________(2)两角和与差的正弦sin(α＋β)＝_____________________________________________，sin(α－β)＝_____________________________________________(3)两角和与差的正切tan(α＋β)＝_____________________________________________，tan(α－β)＝_____________________________________________(α，

3、β，α＋β，α－β均不等于π＋π2，∈Z)其变形为：tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)．2．辅助角公式asinα＋bsα＝a2＋b2sin(α＋φ)，其中sφ＝　　　　　　　　，sinφ＝　　　　　　　　，tanφ＝ba，角φ称为辅助角．自我检测1．(2010•福建)计算sin43°s13°－s43°sin13°的结果等于(　　)A12B3322D322．已知sα－π6＋sinα＝43，则sinα＋7π6的

4、值是(　　)A．－23B23．－4D43．函数f(x)＝sin2x－s2x的最小正周期是(　　)Aπ2B．π．2πD．4π4．(2011•台州月考)设0≤α<2π，若sinα>3sα，则α的取值范围是(　　)Aπ3，π2Bπ3，ππ3，4π3Dπ3，3π2．(2011•广州模拟)已知向量a＝(sinx，sx)，向量b＝(1，3)，则

5、a＋b

6、的最大值为(　　)A．1B3．3D．9探究点一　给角求值问题(三角函数式的化简、求值)例1　求值：(1)[2sin0°＋sin10

7、°(1＋3tan10°)]2sin280°；(2)sin(θ＋7°)＋s(θ＋4°)－3•s(θ＋1°)．变式迁移1　求值：(1)2s10°－sin20°sin70°；(2)tan(π6－θ)＋tan(π6＋θ)＋3tan(π6－θ)tan(π6＋θ)．探究点二　给值求值问题(已知某角的三角函数值，求另一角的三角函数值)例2　已知0<β<π4<α<3π4，sπ4－α＝3，sin3π4＋β＝13，求sin(α＋β)的值．变式迁移2　(2011•广州模拟)已知t

8、anπ4＋α＝2，tanβ＝12(1)求tanα的值；(2)求sinα＋β－2sinαsβ2sinαsinβ＋sα＋β的值．探究点三　给值求角问题(已知某角的三角函数值，求另一角的值)例3　已知0<α<π2<β<π，tanα2＝12，s(β－α)＝210(1)求sinα的值；　(2)求β的值．变式迁移3　(2011•岳阳模拟)若sinA＝，sinB＝1010，且A、B均为钝角，求A＋B的值．转化与化归思想的

9、应用例　(12分)已知向量a＝(sα，sinα)，b＝(sβ，sinβ)，

10、a－b

11、＝2(1)求s(α－β)的值；(2)若－π2<β<0<α<π2，且sinβ＝－13，求sinα的值．【答题模板】解　(1)∵

12、a－b

13、＝2，∴a2－2a•b＋b2＝4[2分]又∵a＝(sα，sinα)，b＝(sβ，sinβ)，∴a2＝b2＝1，a•b＝sαsβ＋sinαsinβ＝s(α－β)，[4分]故s(α－β)＝a2＋b2－42＝2－42＝3[6分](2)∵－π2<

14、β<0<α<π2，∴0<α－β<π∵s(α－β)＝3，∴sin(α－β)＝4[8分]又∵sinβ＝－13，－π2<β<0，∴sβ＝1213[9分]故sinα＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)sβ＋s(α－β)sinβ＝4×1213＋3×－13＝336[12分]【突破思维障碍】本题是三角函数问题与向量的综合题，唯一一个等式条

15、a－b

16、＝2，必须从这个等式出发，利用向量知识化简再