数列讲义----递归数列.doc

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1、第一讲基本数列及其性质本讲概述等差数列与等比数列是最常见的数列，有相当多的数列问题最后可归结或转化到等差等比数列问题这两种基本模型中来.绝大部分等差等比数列的问题都要用到下面最基本的四个公式：等差数列通项公式：前n项和公式：其中d为公差等比数列通项公式：前n项和公式：其中q为公比任意数列通项与前n项和间关系：1、等差数列的常用性质（1）等差中项：（2）任意两项之间关系：（3）当时，（4）2、等比数列的常用性质（1）等比中项：（2）任意两项之间关系：（3）当时，（4）对于的无穷等比数列，其各项和公式为以上性质均极易证明，请各位同学自证.3、数列求和中经常会用到以下公式：

2、例题精讲【例1】设等差数列的首项和公差均为非负整数，项数不小于3且各项的和为972，则这样的数列共有________个．【解析】符合条件的等差数列共有4个．注本题为1997年全国高中联赛题【例2】各项为实数的等比数列{an}，前n项的和为Sn，若S10＝10，S30＝70，则S40等于()．　　A．150B．－200C．150或－200D．400或－50【解析】故选A．注本题为1998年全国高中联赛题【例1】试证明【解析】先证平方和公式：构造恒等式：或者（*）化简即得再证立方和公式：记，则，，化简即得注按照(*)式实际上我们可以依次得到的表达式【例2】求

3、所有的正整数n≥3，使得下述命题成立：　　设a1，a2，…，an成等差数列，若a1＋2a2＋…＋nan为有理数，则a1，a2，…，an中至少有一个数为有理数．【解析】设数列的公差为d，则　　　　　　　　　　　　．　　如果3

4、(n－1)，那么由上式可知a1＋2a2＋…＋nan＝，于是，在a1＋2a2＋…＋nan为有理数时，为有理数．　　另一方面，若3(n－1)时，令，则等差数列a1，a2，…，an中每一项都是无理数，而a1＋2a2＋…＋nan＝0是有理数．　　综上可知，满足条件的正整数n构成的集合为{n

5、n∈N*，n≡1(mod3)}注本题为基本功训练题，首先利用恒等变

6、形给出一个条件中和式的最简形式，则答案就显而易见了.解析中第五行也可以根据前面给出的平方和公式直接代入计算.【例1】数列{an}的各项为正数，其前n项和Sn满足Sn＝，求数列{an}的通项．【解析】【例2】已知数列{an}的各项均为正数，且前n项之和Sn满足3an＋2．若a2、a4、a9成等比数列，求此数列的通项公式．【解析】an＝3n－2．【例3】设{an}是各项均为正数的等比数列，且S＝a1＋a2＋…＋an，　　求{an}的前n项之积．【解析】【例4】数1，2，3，…，100能否是12个等比数列的项？【解析】不能．首先证明3个不同的素数不可能在同一个等比数列中．　

7、　假设三个素数p1＜p2＜p3，在以a1为首项q为公比的等比数列中，，则，其中s＝l－k，t＝m－l都是正整数．从而，上式左边被P2整除，而右边不能被P2整除，因而不可能成立．由于1至100中含有25个素数，而根据上面所证，每个等比数列中至多含有两个素数，因此25个素数不可以包含于12个等比数列中．所以答案是否定的．注想到考虑素数本题就完成了一半，但是要严格地证明还是颇有技巧的【例5】（*选讲）实数x为有理数的充分必要条件是：数列x，x＋1，x＋2，x＋3，…中必有3个不同的项，它们组成等比数列．【解析】证(1)充分性：若3个不同的项x＋i，x＋j，x＋k成等比数列，

8、且i＜j＜k，则，即．若i＋k－2j＝0，则，于是得i＝j＝k与i＜j＜k矛盾．故i＋k－2j≠0，x＝且i、j、k都是正整数，故x是有理数．　　(2)必要性：若x为有理数且x≤0，则必存在正整数k，使x＋k＞0．令y＝x＋k，则正数列y，y＋1，y＋2，…是原数列x，x＋1，x＋2，x＋3，…的一个子数列，只要正数列y，y＋1，y＋2，…中存在3个不同的项组成等比数列，那么原数列中必有3个不同的项组成等比数列，因此不失一般性，不妨设x＞0．　　①若x∈N＋，设q是大于1的正整数，则xq－x、都是正整数．令i＝xq－x，，则i＜j，即x、x＋i、x＋j是数列x，x＋1

9、，x＋2，x＋3，…中不同的三项，且x、x＋i(即xq)、x＋j(即xq2)成等比数列．　　②若x为正分数，设(m、n∈N＋，且m、n互质，m≠1)，可以证明x、x＋n、x＋(m＋2)n这三个不同的项成等比数列，事实上，，所以x[x＋(m＋2)n]＝(x＋n)2，即三项x、x＋n、x＋(m＋2)n成等比数列．　　综上所述，实数x为有理数的充分必要条件是数列x，x＋1，x＋2，x＋3，…中必有3个不同的项．它们组成等比数列．注1、以上证明巧妙之处在于：当x是正分数时，在数列x，x＋1，x＋2，x＋3，…寻求组成等比数列的三项，这三项是x、x＋n、x＋(