数形结合的学与学习滴点.doc

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1、数形结合的教学与学习滴点蒋萍莉数学研究的对象只有两个“元素”，一是数，二是形。前者抽象，便于思考，后者形象，便于直觉。前者因精确定量而见深刻，后者因宏观定性而显直观。各自的优点又恰好是对方缺点。于是，实现它们之间的各扬其长，互补其短，则形成了数学学科的这种如此重要的思想：数形结合思想。所谓数形结合，就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系分析其代数含义，又揭示其几何直观，使数量关系与空间形式和谐地结合起来。数形结合思想，就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合。通过对图形的认识、数形转化，以提高思维的灵活性、形象性、直观性，使问题化难为易，化抽象为具体

2、。形是数的驱体，数是形的灵魂。而且“数”“形”只能结合，不能分离，有暂时的“分家”，那也只是研究时的一些“偏重”。如数学命题人在命制数形结合题时，又特意将数、形分割开来，不是隐去数，就是藏去形，借以“为难”考生，实为考察考生的数形结合的能力。作为考生，这时就应当反其道而行之，有形去找数，有数去找形。当然，我们不难知道，人脑对图和文字、数的处理是有差异的，特别表现在速度方面、信息量的获得方面。所以在教学过程中教师应充分利用人脑的这个功能。要有意识地沟通数、形之间的联系，帮助学生逐步树立起数形相结合的观点，并使这一观点扎根到学生的认知结构中去，成为运用自如的思想观念和思维工具。下面现

3、示几个平时教学中所零星拾掇的案例。案例一：不等式（1）不等式探讨：若不等式在（0，0.5）内恒成立，求a的取值范围。【解析】在同一坐标平面内作的图像，如图，由题意可知必有0y1在（0，0.5）内恒成立，必须且只需P点在A的右边，而P点与A点重合时，a=，根据对数曲线随底数的改变而变化的规律得≤a<1。【点评】若无图的参与难会有结果。(2)不等式的证明：已知，求证：。证：，，在直角坐标系中，设，由图知，(三角形两边之和大于第三边，当O点在线段PC上取等号)【点评】有比这还妙的方法吗？案例二：函数求值（或值域）

4、问题（1）已知函数f（x）=（sinx+cosx）-

5、sinx-cosx

6、，则f（x）的值域是（）A.［-1，1］B.［-，1］C.［-1，］D.［-1,-］【解析】若sinx≥cosx，得f（x）=cosx；若sinx≤cosx，得f（x）=sinx.如图：不妨取x∈［-，］，则当x∈［-，］时,f（x）=sinx∈［-1,］；当x∈［，］时，f（x）=cosx∈［-1,］；当x∈［，］时，f（x）=sinx∈［-1，-］.综合知f（x）∈［-1,］，选C。【点评】本题是有数缺形，所以要补形。图形直观，一目了然，胜过千言万语，这就是形的长处。xyo11-12-1-

7、23B(-1,3)A(0,2)（2）求函数的值域。解：y=表示：平面直角坐标系中X轴上的点P（X，0）到两定点A（0，2）、B（–1，3）的距离之和。如图，有∴（3）已知x,y,z，满足，求的值。解：将条件转化为构造出右图即，。【点评】根据题中“数”的结构特征，构造出与之相应的几何图形，并利用图形的特征、规律来研究解决问题，可以化抽象为直观，易于显露出问题的内在联系。数形结合的核心是“数”与“形”的对应关系，熟知这些对应关系，沟通两者的联系，才能把握住每一个研究对象在数量关系上的性质与相应的图形的特征之间的关联，以求相辅相成，相互转化。若你不信，试试看解方程组求出x，y，z的值，

8、再求值。案例三：概率问题（1）两人相约在7点到8点在某地相见，先到者等候另一个人20分钟方可离去.如果两人出发各是独立的，在7点到8点相见的可能性是相等的，试求这两人在约定时间内相见的概率？解：（如图）这是几何概型问题.以X、Y分别表示两人到达时刻，建立直角坐标系如图：则0≤X≤60，0≤Y≤60。两人能相见的充要条件是

9、X-Y

10、≤20。∴P=【点评】本题的知识是新课标的内容，它为我们求几何概型的概率提供了一个公式：概率的大小与面积的大小有关，事件发生的概率等于此事件所有可能结果所组成的图形面积除以所有可能结果组成图形的面积。即：P(事件A)＝我们称这个概率公式为几何概型概率公式

11、.案例四：导数问题（1）（2007年浙江卷·8题）设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）【解析】利用导数判断函数的单调性，其法则是：当函数在某区间递增时，相应的导函数为正；当函数在某区间递减时，相应的导函数为负；反之亦然。根据以上原则判断：图形D中两条曲线都是有增有减的，因而其导函数应当有正有负。所以不管将哪一条作为的图像，另一条（要么非正，要么非负）都不是其导函数的图像。故选D.【点评】本题在于形充分而数不明。“有形缺数先找数”，为找到正确的选项