束优化算法—复合形法.doc

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1、束优化算法——复合形法 ·一、基本原理    复合形法的基本思路是在n维空间的可行域中选取K个设计点（通常取）作为初始复合形（多面体）的顶点。然后比较复合形各顶点目标函数的大小，其中目标函数值最大的点作为坏点，以坏点之外其余各点的中心为映射中心，寻找坏点的映射点，一般说来此映射点的目标函数值总是小于坏点的，也就是说映射点优于坏点。这时，以映射点替换坏点与原复合形除坏点之外其余各点构成K个顶点的新的复合形。如此反复迭代计算，在可行域中不断以目标函数值低的新点代替目标函数值最大的坏点从而构成新复合形，使复合形不断向最优点移动

2、和收缩，直至收缩到复合形的各顶点与其形心非常接近、满足迭代精度要求时为止。最后输出复合形各顶点中的目标函数值最小的顶点作为近似最优点。    现以图5所示二维不等式约束优化问题来作进一步说明。其数学模型为D：    其中，，可称为隐式约束条件，而边界约束，可称为显式约束条件。    在可行域内先选定四个点、、、(这里取)作为初始复合形的顶点，计算这四个点的目标函数值，并作比较，得出坏点和好点：(7)(8)    由图5,可以看出点为好点，点为坏点，即。以、、三点的中心为映射中心，寻找坏点的映射点：（9）式中，a为映射系数

3、，一般，通常取a=1.3。然后计算映射点处目标函数与坏点目标函数值相比是否下降，并同时检查是否在可行域内。如果下降性、可行性这两方面都得到满足，则以点替换点，由与、、共四个点构成一个新复合形（如图5中虚线所示)。这个新复合形肯定优于原复合形；如果上述两个条件不能同时满足.则可将映射系数缩半，即，仍按式(9)迭代，重新取得新的映射点，使其同时满足下降性、可行性条件。有时甚至要经过多次缩减映射系数才能使回缩的映射点最后满足这两个条件。这时以回缩成功的映射点和、、构成新复合形。构成新复合形就完成了一轮迭代。以后再按上述方法进行

4、迭代搜索，不断地使复合形向着目标函数减小的方向移动和收缩，直到逼近最优解。    通过以上说明，复合形寻优可以归为两大步骤：第一步是在可行域内构成初始复合形，第二步是通过复合形的收缩和移动不断调优，逐步逼近最优点。·二、初始复合形的产生    初始复合形的全部K个顶点都必须在可行域内。对于维数较低、不很复杂的优化问题，可以人为地预先按实际情况决定K个可行设计点作为初始复合形的顶点；对于维数较高的优化问题则多采用随机方法产生初始复合形。现将随机方法产生初始复合形的过程阐述如下：    (一)确定一个可行点作为初始复合形的第

5、一个顶点    在区间给定一点或调用(0,1)区间内服从均匀分布的随机数列在区间产生第一个随机点的分量：（10）    检验是否可行。若非可行点，则调用随机数，重新产生随机点，直到为可行点。    (二)产生其他(K一1)个随机点继续调用随机数，在区间产生其他(K一1)个随机点：，，，其分量为(11)    (三)将非可行点调入可行域构成初始复合形    用上述方法产生的K个点，除第一点已在可行域内，其他(K一1)个随机点未必都在可行域内。因此应设法将不在可行域的所有随机点逐一调入可行域。这就需要依次检查，是否在可行域内

6、。检查过程中如依次都在可行域内，它们均作为初始复合形的顶点；至第点不在可行域内，则应首先将点调入可行域。其步骤为：    1.求出已在可行域的q个点的点集的中心(12)    2.将点向点的方向推进，移到与的中点，即按下式产生新的点(13)    如果推移后的点已进入可行域，如图6(a)所示，即点，则此点可作为初始复合形的第q+1个顶点;如果仍不满足可行性条件，如图6(b)所示，则仍按上式再次推移产生新的点，即点，使之更向推移。如此重复迭代推移，直到新点成为可行点为止。    3.继续依次检查，一旦遇到可行点，即作为初始

7、复合形的顶点;一遇到不可行点则按上述方法处理，使之调入可行域。直到全部成为可行点，从而构成了可行域内的初始复合形。·三、迭代过程及算法框图    对于n个设计变量、仅有不等式约束的非线性最优化问题，采用复合形法的具体迭代步骤如下：    (1)给定设计变量数目n，变量界限范围，复合形顶点数目K，精度要求。    (2)产生初始复合形    如前所述得初始复合形K个顶点。    (3)计算复合形各顶点的目标函数值，在各顶点中找出最坏点和最好点转入第(8)步。    (4)计算除坏点外其余各顶点的中心（14）    (5)检

8、查点的可行性。若不在可行域D内，则D域可能是一个非凸集，如图7所示。这时可在以点为起点、点为端点的超立方体中(二维则为长方形)利用随机数产生新复合形的各个顶点，即以，然后转回第(2)步;若在可行域，则进行下一步。    (6)寻求映射点式中映射系数a通常取1.3。亦须检查点是否在可行域内。若在可行域内，则进行第(7)