2019_2020学年高中数学课后作业12平面与平面垂直的判定北师大版必修2.docx

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1、课后作业(十二)(时间45分钟)学业水平合格练(时间20分钟)1．已知直线l⊥平面α，则经过l且和α垂直的平面(　　)A．有1个B．有2个C．有无数个D．不存在[解析]　经过l的平面都与α垂直，而经过l的平面有无数个，故选C.[答案]　C2．在棱长都相等的四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，则下面四个结论中不成立的是(　　)A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABCD．平面PAE⊥平面ABC[解析]　可画出对应图形，如图所示，则BC∥DF，又DF平面PDF，BC平面PDF，∴BC∥平面PDF，故A成立；由AE⊥BC，

2、PE⊥BC，BC∥DF，知DF⊥AE，DF⊥PE，∴DF⊥平面PAE，故B成立；又DF平面ABC，∴平面ABC⊥平面PAE，故D成立．[答案]　C3．如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在平面ABC，点C是圆上的任意一点，图中互相垂直平面的对数为(　　)A．4B．3C．2D．1[解析]　∵PA⊥圆O所在平面ABC，∴平面PAB⊥平面ABC，同理可得：平面PAC⊥平面ABC，∵AB是圆O的直径，∴BC⊥AC，又∵PA⊥圆O所在平面ABC，BC平面ABC，∴PA⊥BC.又∵PA∩AC＝A，PA，AC平面PAC.∴BC⊥平面PAC.又∵BC平面PBC，∴平面PB

3、C⊥平面PAC.综上相互垂直的平面共有3对．[答案]　B4．如图所示，在三棱锥D—ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是(　　)A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE[解析]　∵AB＝CB，AD＝CD，E为AC的中点，∴AC⊥BE，AC⊥DE，∴AC⊥平面BDE.∵AC平面ABC，∴平面ABC⊥平面BDE.同理平面ADC⊥平面BDE.[答案]　C5．如图所示，已知四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，则图中所有

4、互相垂直的平面共有(　　)A．8对B．7对C．6对D．5对[解析]　由PA⊥平面ABCD可得平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAC⊥平面ABCD.又ABCD为正方形，CD⊥AD，因为PA⊥CD，PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD，所以平面PCD⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PAD，同理可得，平面PBC⊥平面PAB，平面PAC⊥平面PBD.共7对．[答案]　B6.在三棱锥P－ABC中，已知PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，如图所示，则在三棱锥P－ABC的四个面中，互相垂直的面有________对．[解析]　∵PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC

5、＝P∴PA⊥平面PBC∵PA平面PAB，PA平面PAC∴平面PAB⊥平面PBC，平面PAC⊥平面PBC.同理可证：平面PAB⊥平面PAC.[答案]　37．在三棱锥S－ABC中，AC⊥平面SBC，已知SC＝a，BC＝a，SB＝2a，则二面角S－AC－B的平面角是________．[解析]　由已知可得AC⊥平面SBC，AC、BC平面SBC，所以AC⊥SC，AC⊥BC，所以∠SCB是二面角S－AC－B的平面角，又SC＝a，BC＝a，SB＝2a，所以SB2＝SC2＋BC2，故△SCB为直角三角形，∴∠SCB＝90°.[答案]　90°8．已知α，β是两个不同的平面，m，n

6、是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________.(用序号表示)[解析]　当m⊥α，m⊥n时，有n∥α或nα.∴当n⊥β时，α⊥β，即①③④⇒②.或当α⊥β，m⊥α时，有m∥β或mβ.∴当n⊥β时m⊥n，即②③④⇒①.[答案]　①③④⇒②(或②③④⇒①)9.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，直线SC⊥平面ABCD，E是SA的中点，求证：平面EDB⊥平面ABCD.[证明]　连接AC，交BD于点F，连接EF，∴EF是△SAC的中位线，∴EF

7、∥SC.∵SC⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD.又EF平面EDB，∴平面EDB⊥平面ABCD.10．已知正四棱锥(底面为正方形各侧面为全等的等腰三角形)的体积为12，底面对角线的长为2，求侧面与底面所成的二面角．[解]　设正四棱锥为S－ABCD，如图所示，高为h，底面边长为a，则2a2＝(2)2，∴a2＝12.又a2h＝12，∴h＝＝3.设O为S在底面上的射影，作OE⊥CD于E，连接SE，可知SE⊥CD，∠SEO为所求二面角的平面角．tan∠SEO＝＝＝＝，∴∠SEO＝60°.∴侧面与底面所成二面角的大小为60°.应试能力等级练(时间25分钟)