工程力学9-1-课件

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1、工程力学（A）北京理工大学理学院力学系韩斌(9-1)29+5/II§8.3力的功1.力的元功和有限功元功——力矢量在无限小的位移矢量上作的功。用直角坐标的分量表示：yxz（8.8）为在曲线切线方向的投影，元功(8.7)(瞬时量)2若同一质点上作用一力系，合力为质点上合力的元功等于各分力的元功之和。若力系各力分别作用在质点系的不同质点上，该力系的总元功为：其中是力作用点的无限小位移。(8.9)(8.10)质点该瞬时的位移为则合力的元功为32.实元功虚功有限功当位移为实位移时，力的元功为实元功当位移为虚位移时，力的元功为虚功有限功(8.12)力在有限位移上做功，实元功的积分

2、为有限功(8.11)实元功(8.13)虚功43.功的计算(1)质点系中内力的功质点系中任意两质点之间的相互作用力为内力。且有：此一对内力的元功之和为：式中为点M1相对于点M2的无限小位移。对于刚体，任意两点间的相对位移为零，故故刚体的内力不作功；而变形体的内力一般应作功。（8.14）M1M25(2)重力的功设z轴铅垂向上，重力设h为物体重心C高度的变化，(重心下降则h>0；重心上升则h<0)h(8.18)重力的实元功(8.15)重力的虚功(8.16)重力的有限功(8.17)刚体从A运动到B：6弹簧连接两质点弹簧原长，刚度系数k，质点所受到的弹簧力为系统的内力，且。(3)

3、弹性力的功设弹簧在任意位置的长度为l取两质点及弹簧为对象，弹簧受到的力7(8.19)(8.20)(8.21)而弹簧力令弹簧变形量为又8（4）作用于刚体上力系的功设刚体在平面力系(作用点为的力，)的作用下，刚体作平面运动。力系的元功则力系的元功也可为：在刚体上取一点A作为简化中心，将力系向A点简化为等效力系9若将点A选为刚体的速度瞬心P点，则若将上式中的实位移换为虚位移，则刚体上力系的虚功为：(8.23)(8.22)则作用于刚体上的力系的元功为：其中10作用于刚体上的力系的有限功：设刚体在力的作用下由位置1运动至位置2，有限功为：特例1，若刚体作平动：（8.24)特例2，

4、若刚体作定轴转动：简化中心A取转动轴上一点当11（5）约束力的功理想条件下元功（实元功或虚功）为零的约束力有:一端固定柔绳的约束力固定光滑接触面的约束力光滑铰链提供的约束力纯滚动物体接触点的约束力（支持力、静滑动摩擦力）（内力）12若约束力在任意一组虚位移上所作的虚功之和为零，则称这些约束为理想约束。理想系统：满足的系统。当遇到非理想约束时，可将非理想约束处的约束力看作主动力，则余下的约束为理想约束。其中为约束力，为与对应的虚位移。即理想系统约束力的虚功为零134.有势力的势能与功的关系参考点C称为势能零点。显然(8.26)若某种力的有限功只与物体起止位置A和B有关，与

5、该力的作用点的路径无关，则这种力称为有势力或保守力。任选一个参考点C，设物体所处的位置为B，则物体由B点移动至参考点C点，有势力所作的功，称为该物体位于B点时相对于C点的势能(8.25)14重力和弹簧力均为有势力。重力：弹簧力：取弹簧未变形(弹簧为原长l0)时为势能零点势能零点取C点为势能零点变形为，则当弹簧长l时，l(8.27)(8.28)15有势力的元功为其势能的微分的负值；有势力的虚功为其势能的变分的负值。设质点由(x,y,z)运动到(x+dx,y+dy,z+dz)由(8.29)若取参考点（势能零点）为点0，则质点由点1到点2，有势力作的功为则(8.30)将实位移

6、改为虚位移则(8.31)16本章要求掌握的重点内容1.会找出刚体系统中各点的虚位移、及各刚体虚角位移之间的关系几何法——类比于第2章刚体平面运动中的速度分析（只需将速度矢量换成虚位移矢量）分析法——写出各点位置坐标与广义坐标的关系后求导得出见§8—例题1，例题2172.会写出作用于刚体系统上的力系在任意瞬时的虚功表达式本章要求掌握的重点内容(1)作用在刚体上的主动力系的虚功：（8.23）将作用在刚体上的主动力系向某点A简化，得到主矢和主矩，则主动力系的虚功为：其中：为A点的虚位移，为该刚体的虚角位移18本章要求掌握的重点内容(2)作用在刚体上的重力和弹簧弹性力的虚功：重

7、力的虚功(8.16)(8.20)弹性力的虚功(3)作用在刚体上的约束力的虚功：理想系统的约束力的虚功为零非理想约束时，可将非理想约束处的约束力看作主动力，则余下的约束为理想约束。19例题3§8虚位移原理例题均质圆轮重,半径r,弹簧原长，刚度k，M为常力偶，轮子在斜面上纯滚动，求轮心O移动ds时，重力、弹性力、力偶M所作的元功、虚功，及轮心坐标由到时，上述力的有限功。SMOz20例题3§8虚位移原理例题解：系统自由度为1。1.元功的计算：(1)重力的元功：(2)弹性力的元功：设轮子的角位移为则轮心位移为SMOz弹簧伸长量21例题3§8虚