曲径通幽 中见脉.doc

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1、曲径通幽幽中见脉——对一道选择题解法的探究本文对一道选择题的解法作一探究，供参考．题目下面4个命题：①有一个角是100°的两个等腰三角形相似；②斜边和周长对应成比例的两个直角三角形相似；③两个直角三角形一定相似；④两个等腰直角三角形一定相似，其中正确命题的序号是()(A)①③(B)①④(C)②③(D)②④原编著者给出的答案是B．对此，笔者有不同看法，现通过两种方法加以说明，敬请各位同仁赐教．命题“斜边和周长对应成比例的两个直角三角形相似”可以转化为如下几何问题：已知，如图1，在△ABC和△A1B1C1中，∠C＝∠C1＝90°，，求证△ABC与△A

2、1B1C1相似．证法一∵∴∴∵∠C＝∠C1＝90°，∴c2＝a2＋b2，c12＝a12＋b12，∴∴∴（a2＋b2)a1b1＝(a12＋b12)ab，∴a2a1b1＋b2a1b1＝a12ab＋b12ab，即(ab1－a1b)（a1a－bb1）＝0．(1)当ab1－a1b＝0时，得又∠C＝∠C1＝90°．∴△ABC与△A1B1C1相似；(2)当a1a－bb1＝0时，得又∵∠C＝∠C1＝90°，∴△ABC与△A1B1C1相似；(3)当ab1－a1b＝0和a1a－bb1＝0同时成立时，有a1＝b1，a＝b，又∠C＝∠C1＝90°，这是两直角三角形相似的

3、特例——全等．综上，命题得证，证法二∵tanB＝，∴b＝atanB．∵c2＝a2＋b2．∴c＝(3)当tanB1－tanB＝0，且1－tanBtanB1＝0时，容易得到∠A＝∠B＝45°，∠A1＝∠B1＝45°．两三角形均为等腰直角三角形，结论显然成立．变式由命题“斜边和周长对应成比例的两个直角三角形相似”联想到下面命题：“一直角边和周长对应成比例的两个直角三角形相似”是否成立呢？已知，如图1，在△ABC和△A1B1C1中，∠C＝∠C1＝90°，，求证：△ABC与△A1B1C1相似．归纳由“斜边和周长对应成比例的两个直角三角形相似”，及“一直角边

4、和周长对应成比例的两个直角三角形相似”两个真命题，不难得出以下结论：“任意一边和周长对应成比例的两个直角三角形相似”．实际上这一结论正是“两相似直角三角形的周长比等于相似比”这一命题的逆命题．经历了以上探究证明过程，我们发现了它们联系的脉络．此外，上述结论是否可推广到任意两个三角形呢？即“一边长和周长对应成比例的两个三角形相似”．可举如下一则反例：△ABC中，三边长分别为3，4，5，△A1B1C1中，三边长分别为4，5，7，存在，符合一边长和周长对应成比例的条件，很显然没有两三角形相似的结论．这说明上述结论并不能推广到一般的三角形．