牛顿-莱布尼兹公式在与路径无关的曲线积分中的应用.pdf

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1、第29卷第3期兰州文理学院学报(自然科学版)VoI．29NO．32O15年5月JournalofLanzhouUniversityofArtsandScience(NaturalSciences)May2015文章编号：2095—6991(2015)03—0094—04牛顿一莱布尼兹公式在与路径无关的曲线积分中的应用邓雪，江璐瑶，孙全德，刘小兰(华南理工大学数学学院，广东广州510640)摘要：在现有高等数学教材中，对于一元函数的定积分有牛顿一莱布尼兹公式，而对于与积分路径无关的曲线积分，没有给出对应的公式．根据与秽、，J．．，^n、。_rOP一，，经过严谨的数学推导，得

2、出uu上与路径无关的曲线积分的牛顿一莱布尼兹公式：1l0，0Pdx+Qdy=IJ‘’vJdu(x，)=u(x2，2)一“(z，y)．最JL1’YlJJL1’YI)后，通过实例验证，无论是对与积分路径无关的曲线积分的计算题还是证明题，所给出的公式都是有效的、实用的．关键词：牛顿一莱布尼兹公式；与路径无关；曲线积分；原函数中图分类号：0172文献标识码：A导数，则如下四个命题等价：0引言(1)对于D内任何分段光滑的封闭曲线c，有牛顿～莱布尼兹公式是微积分学中的一个重rIPdx+Qdy一0；要的基本公式，它揭示了函数的定积分或不定积JCr分与原函数之间的内在联系，故而人们也常常

3、把(2)曲线积分JPdx+Qdy在D内与路径无J』J它叫做微积分基本公式．在现有的高等数学教材关；(如[1]一[6])中，给出了一元函数的定积分的牛(3)Pdx+Qdy在D内是某二元函数“(z，)顿莱布尼兹公式及其证明，而对于与积分路径无的全微分，即du—Pdx+Qdy，其中u(x，)叫做关的曲线积分，没有给出对应的公式．那么对于与Pdx4-Qdy的一个原函数；积分路径无关的曲线积分，我们自然想到：当存在(4)等式．3P一在D内处处成立原函数时，是否也有相应的牛顿一莱布尼兹公式?．tJY‘Ji若有，如何证明?该公式是否可以解决一些实际定理中的四个命题等价，证明思路为问题?

4、(1)(2)(3)(4)(1)，具体证明过程请见参针对上述问题，本文通过两个引理，经过严谨考文献Eli．的数学证明，推导出与积分路径无关的曲线积分引理2设平面开区域D是一个单连通域，的牛顿一莱布尼兹公式．最后，通过实例来验证本函数P(x，．y)和Q(x，)在D内有一阶连续偏导文给出的公式的正确性和有效性．这一公式的给数，若一，则出，为我们研究与路径无关的曲线积分问题提出oo工了一种思路．(1)Pdx4-Qdy的原函数有无穷多个；(2)若u(x，)，v(x，)为任意两个原函数，1定理推导则u(x，)一v(x，)4-C，其中C为任意实数．引理1】]设平面开区域D是一个单连通证

5、明(1)根据引理1，若OP一，则存在域，函数P(，)和Q(x，)在D内有一阶连续偏收稿日期：2015-03—12．基金项目：教育部人文社会科学规划基金项目(13YJCZH030)；华南理工大学本科生中央高校基本科研基金(10561201463)；华南理工大学教研项目(Y1141840)；华南理工大学百步梯项目(cA3O815010，cA30815008)．作者简介：邓雪(1974一)，女，辽宁沈阳人，副教授，博士，主要从事高等数学研究．第3期邓雪等：牛顿莱布尼兹公式在与路径无关的曲线积分中的应用95某个二元函数“(，)，满足du—Pdx+Qdy，又d(／．L+C)一du，

6、则d(+C)一Pdx+Qdy，既Pdx+Qdy的原函数有无穷多个；(2)若U(1z，)，v(x，)为任意两个原函数，则一P一，一Q一．我们有一一一P—P：0，azazaz。a一一一Q—Q一0，v3vv则U——C，即U—+C．引理3曲线积分IPdx+Qdy在D内与路rJPdz+Qd+2Pd+Qd一J(f1，Yf))J(1·3，1)径无关，则存在U(，)为Pdx+Qdy一个原函数．U(．z，)的具体求法有如下三种：(,Y1)+rPd+Qd．(5)方法1(曲线积分法或折线法)由引理2，v(x，)，u(x，)都为Pdx+Qdy的原fPd+Qd：r“Pdz+Qd—函数，则v(x，)

7、一u(x，)+C．(6)IPdx+IQdy一“(-z，)+c．当(z，)一(1，Y)，(z2，Y2)时，分别代入公方法2(凑微分法)式(6)，有v(x1，Y1)=u(xl，1)+C，IPdx+Qdy—Idu。(，Y)+du2(z，)：v(x2，Y2)一U(2，Y2)+C．(7)“l(z，)+2(，)+f．把(7)代入(5)，得方法3(不定积分法)“(z2，Y2)+C==二“(1，Y1)+(+根据已知条件，满足一P，一Q．Pdq-Qd．(8)Jud—P“(z，．y)：IPdx+f()，则．Jf2Pd+Qd一“(，)12一J(1，