资源描述：
《高阶线性微分方程解的结构.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、机动目录上页下页返回结束高阶线性微分方程解的结构第四节一、线性齐次方程解的结构二、线性非齐次方程解的结构*三、常数变易法n阶线性微分方程的一般形式为时,称为非齐次方程;时,称为齐次方程.机动目录上页下页返回结束一、线性齐次方程解的结构（一）n阶线性微分方程的概念一个n阶微分方程，如果其中的未知函数及其个阶导数都是一次的，则叫它为n阶线性微分方程，简称n阶线性方程我们重点研究二阶线性微分方程时,称为非齐次方程;时,称为齐次方程.证毕（二）、线性齐次方程解的结构是二阶线性齐次方程的两个解,也是该方程的解.证:代入方程左边,得(叠加原理)定理1.思考：一般的n
2、阶线性微分方程是否也有叠加原理说明:不一定是所给二阶方程的通解.例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解并不是通解但是则为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关与线性无关概念.机动目录上页下页返回结束定义:是定义在区间I上的n个函数,使得则称这n个函数在I上线性相关,否则称为线性无关.例如，在(,)上都有故它们在任何区间I上都线性相关;又如，若在某区间I上则根据二次多项式至多只有两个零点,必需全为0,可见在任何区间I上都线性无关.若存在不全为0的常数机动目录上页下页返回结束两个函数在区间I上线性相关与线性无关的充要条件:线性相关(无妨设线
3、性无关常数注:中有一个恒为0,则必线性相关机动目录上页下页返回结束例:常数对于n个函数如何确定它们的线性相关性，有行列式wronsky理论定理2.是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解,则数)是该方程的通解.例如,方程有特解且常数,故方程的通解为定理2`.是n阶齐次方程的n个线性无关解,则方程的通解为注：n阶齐次线性方程的解构成n维向量空间二、线性非齐次方程解的结构是二阶非齐次方程的一个特解,Y(x)是相应齐次方程的通解,定理3.则是非齐次方程的通解.证:将代入方程①左端,得②①复习目录上页下页返回结束是非齐次方程的解,又Y中含有两个独立任意常数,例如,方
4、程有特解对应齐次方程有通解因此该方程的通解为证毕因而②也是通解.机动目录上页下页返回结束定理3`.是对应齐次方程的n个线性无关特解,给定n阶非齐次线性方程是非齐次方程的特解,则非齐次方程的通解为齐次方程通解非齐次方程特解机动目录上页下页返回结束常数,则该方程的通解是().设线性无关函数都是二阶非齐次线性方程的解,是任意例3.提示:都是对应齐次方程的解,二者线性无关.(反证法可证)机动目录上页下页返回结束例4.已知微分方程个解求此方程满足初始条件的特解.解:是对应齐次方程的解,且常数因而线性无关,故原方程通解为代入初始条件故所求特解为有三机动目录上页下页返
5、回结束定理4.分别是方程的特解,是方程的特解.(非齐次方程之解的叠加原理)注:定理4均可推广到n阶线性非齐次方程.例则定理5.是方程的特解,则的特解.是的特解.是其中是实值函数例是方程的特解,则是方程的特解。是方程的特解。*三、常数变易法复习:常数变易法:对应齐次方程的通解:设非齐次方程的解为代入原方程确定对二阶非齐次方程情形1.已知对应齐次方程通解:设③的解为③由于有两个待定函数,所以要建立两个方程:④机动目录上页下页返回结束⑤令于是将以上结果代入方程:得⑥故⑤,⑥的系数行列式是对应齐次方程的解P10目录上页下页返回结束积分得:代入③即得非齐次方程的通
6、解:于是得说明:将③的解设为只有一个必须满足的条件即方程③,因此必需再附加一个条件,方程⑤的引入是为了简化计算.机动目录上页下页返回结束例5.的通解为的通解.解:将所给方程化为:已知齐次方程求利用⑤,⑥建立方程组:积分得故所求通解为⑤,⑥目录上页下页返回结束情形2.仅知③的齐次方程的一个非零特解代入③化简得设其通解为积分得(一阶线性方程)由此得原方程③的通解:代入③目录上页下页返回结束例6.的通解.解:对应齐次方程为由观察可知它有特解:令代入非齐次方程后化简得此题不需再作变换.特征根:设⑦的特解为于是得⑦的通解:故原方程通解为(二阶常系数非齐次方程)⑦代
7、入⑦可得:机动目录上页下页返回结束
