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1、数形结合思想主讲-程晓数形结合思想1.集合及其运算.2.函数图象解决问题.3.三角函数图象及其应用.4.向量运算的有关问题.5.圆锥曲线及其相关元素的图形特征与定义间的内在联系.6.数学概念及数学表达式间的几何意义的应用.7.解析几何与立体几何问题中的数形结合.1.已知0＜a＜1,则方程a
2、x
3、=
4、logax
5、的实数根的个数为（）A.1个B.2个C.3个D.1个或2个或3个解析在同一坐标系下，画出函数y=a
6、x
7、，y=
8、logax
9、的图象，则图象有两个交点.B2.设数集M={x
10、m≤x≤m+}，数集N={x
11、n-≤x≤n}，且M，N都是集合{x
12、0≤x≤1}的子集，如果把b-a叫做
13、集合{x
14、a≤x≤b}的“长度”,那么集合M∩N的长度的最小值为（）A.B.C.D.解析由题意知.集合M的“长度”为，集合N的“长度”为，而集合{x
15、0≤x≤1}的“长度”为1；设线段AB=1，，a，b可在线段AB上自由滑动，a，b重叠部分的长度即为M∩N.如图，显然当a，b各自靠近AB两端时，重叠部分最短,其值为.答案C3.若奇函数f(x)在（0,+∞）上是增函数，又f(-3)=0，则{x
16、x·f(x)＜0}等于（）A.{x
17、x＞3或-3＜x＜0}B.{x
18、0＜x＜3或x＜-3}C.{x
19、x＞3或x＞-3}D.{x
20、0＜x＜3或-3＜x＜0}解析由f(x)为奇函数且f(-3)=0
21、，得f(3)=0.又f(x)在（0,+∞)上是增函数，据上条件做出满足题意的y=f(x)草图，如图，如右图中找出f(x)与x异号的部分，可以看出x·f(x)＜0的解集为{x
22、0＜x＜3或-3＜x＜0}.答案DA.B.C.D.解析由题意在坐标系下画出
23、x
24、+
25、y
26、≤1的图象如右图阴影部分，①若x=0时，
27、y
28、≤1,此时u=0;②若x≠0时，变量可看成点A(0，3)与可行域内的点B连线斜率k的倒数,而k∈(-∞,-3]∪[3,+∞),答案B题型一代数问题“几何化”——以形助数【例1】解由题意令所以x2+y2=16(0≤x≤4,0≤y≤4),其图象如右图所示，原式A=x+y其几何意义是直
29、线在坐标轴上的截距，则y=-x+A【探究拓展】在解答此类问题时，主要是通过对“数”的形式进行观察、分析，把“数”转成图形，再借助其几何意义，通过“换元”使问题得以顺利解答.变式训练1解析则x2+y2=9,(x≥0,y≥0)，又A=x-y,所以A的几何意义是直线在x轴上的截距，其图形如图，则A∈［］.题型二几何问题“代数化”——以数助形【例2】设M是抛物线y=x2上的一点，若点M到直线l:4x-3y-8=0的距离d最小，求点M的坐标及距离d的最小值.解方法一设点M（m,m2）,方法二设过点M平行于直线l与抛物线相切的直线方程为4x-3y+b=0,则整理得3x2-4x-b=0,由题意可
30、知Δ=42+12b=0,方法三如图所示,若想使抛物线上的点到直线l的距离最小，只需抛物线在点M处的切线与直线l平行即可,因为直线l的斜率为,抛物线的导数为y′=2x,【探究拓展】在解答此类问题时，利用待定系数法设出抛物线上动点的坐标，利用二次函数求最值，是解决距离问题的重要方法；而利用直线平行求距离也是常规方法;利用导数求切线的斜率也是十分简单易行的好方法，这些方法是几种不同数学思想的应用,注意体会.题型三“数”“形”互化，相得益彰【例3】已知二次函数y=f1(x)的图象以原点为顶点且过点（1，1），反比例函数y=f2(x)的图象与直线y=x的两个交点间距离为8，f（x）=f1（x
31、）+f2（x）.（1）求函数f(x)的表达式；（2）证明：当a＞3时，关于x的方程f(x)=f(a)有三个实数解.（1）解由已知,设f1(x)=ax2,由f1(1)=1,得a=1,∴f1（x）=x2.设(k＞0)，它的图象与直线y=x的交点分别为由
32、AB
33、=8，得k=8,∴(2)证明方法一由f(x)=f(a),得.在同一坐标系内作出的大致图象，其中f2(x)的图象是位于第一、三象限的双曲线,f3(x)的图象是以(0,)为顶点，开口向下的抛物线.因此f2(x)与f3(x)的图象在第三象限有一个交点，即f(x)=f(a)有一个负数解.又∵f2（2）=4，f3（2）=，当a＞3时，f3(
34、2)-f2(2)=a2+-8>0,∴当a＞3时，在第一象限f3(x)的图象上存在一点(2,f3(2))在f2(x)图象的上方.∴f2(x)与f3(x)的图象在第一象限有两个交点，即f(x)=f(a)有两个正数解.因此，在a＞3时，方程f(x)=f(a)有三个实数解.方法二由f(x)=f(a),得即得方程的一个解x1=a.方程化为ax2+a2x-8=0,由a＞3,Δ=a4+32a>0,得∵a＞3,∴x1≠x2,若x1=x3,则3a2=,a4=4a,得a=0或a=,这与a
