线性代数教材第二章.doc

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1、第二章矩阵和矩阵的初等变换第一节矩阵的定义一、矩阵的基本概念（）二、几类特殊的矩阵（）第二节矩阵的运算一、矩阵的加法与数乘矩阵（）二、矩阵的乘法（）三、矩阵的转置（）四、方阵的幂及其行列式（）第三节矩阵的分块一、分块矩阵的定义（）二、分块矩阵的运算（）第四节矩阵的初等变换及初等矩阵一、矩阵的初等变换与矩阵等价（）二、初等矩阵（）第五节逆矩阵一、逆矩阵的基本概念（）二、逆矩阵存在及判定定理（）三、逆矩阵的性质（）四、初等变换求逆矩阵（）第六节矩阵的秩一、矩阵的秩的定义（）二、初等变换求矩阵的秩（）三、矩阵的秩的性质（）习题二第二章矩阵和矩阵的初

2、等变换矩阵是线性代数的主要研究对象之一，它在数学和其他自然科学、工程技术和经济领域中都有着广泛的应用.本章的中心议题为矩阵，围绕这个议题，先给出矩阵的定义、矩阵的运算和求方阵的逆、初等变换以及求矩阵的秩，最后介绍矩阵的分块运算.第一节矩阵的定义一、矩阵的基本概念定义1由个数排成的行列的数表（常用括弧将数表括起）称为行列矩阵，简称阶矩阵，其中叫做矩阵的元素，为行标，为列标，表明位于矩阵的第行第列.为简单起见，记阶矩阵为或.特别地，当时，则称矩阵为阶矩阵或阶方阵，记为.对于矩阵，当时，有.称矩阵为行矩阵，或行向量.为避免元素间的混淆，行矩阵也可写

3、为.当时，有.称矩阵为列矩阵，或列向量.当时，有.这里把矩阵看成是数.两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们是同型矩阵.所有元素均为零的矩阵，称为零矩阵，记作.注意不同型的零矩阵是不同的.定义2如果与是同型矩阵，且它们的对应元素均相等，即，则称矩阵与矩阵相等，记作.下面举几个关于矩阵应用的例子.例13个产地与4个销地之间的里程（单位：千米）可列为矩阵：.其中为第产地到第销地的里程数.1324例24个城市间的单向航线如图1所示.若令则图1可用矩阵表示为图1一般地，若干个点之间的单向通道都可用这样的矩阵表示.例3个变量与个变量之间的关系式(1

4、)表示一个从变量到变量的线性变换，其中为常数.线性变换(1)的系数构成矩阵.给定了线性变换(1)，它的系数所构成的矩阵(称为系数矩阵)也就确定.反之，如果给出一个矩阵作为线性变换的系数矩阵，则线性变换也就确定.在这个意义上，线性变换和矩阵之间存在着一一对应的关系.二、几类特殊的矩阵1）对角矩阵阶方阵的元素称为的主对角元素.例如，矩阵的主对角元素为3和1.定义3若阶方阵中的元素满足条件则称为阶对角矩阵或对角阵，即（此记法表示对角线以外未标明的元素均为0）.简记为.例如，为对角阵.特别地，当，则称对角阵为阶数量矩阵.即例如，为数量矩阵.又当时，称

5、为阶单位矩阵或单位阵，记作，有时简记为，即.例如线性变换叫做恒等变换，它对应的系数矩阵就是一个阶单位矩阵.2）三角形矩阵定义4若阶方阵中的元素满足条件则称为阶上三角形矩阵或上三角矩阵，即.若阶方阵中的元素满足条件则称为阶下三角形矩阵或下三角矩阵，即.例如，为上三角矩阵，为下三角矩阵.3）对称矩阵定义5若阶方阵中的元素满足则称为对称矩阵.例如，为对称矩阵.4）阶梯形矩阵定义6若矩阵满足：(i)若有零行(元素全为零的行)，全部在矩阵的下方；(ii)各非零行的第一个不为零的元素(称为首非零元)的列标随行标的增大而严格增大.则称矩阵为行阶梯形矩阵.例

6、如，矩阵为行阶梯形矩阵，而矩阵不是行阶梯形矩阵.进一步，若行阶梯形矩阵满足：(i)行首非零元等于1；(ii)所有首非零元所在列的其余元素全为零.则称为行最简形矩阵.上例行阶梯形矩阵对应的行最简形为，而矩阵不是行最简形矩阵.第二节矩阵的运算一、矩阵的加法与数乘矩阵定义1两个阶矩阵和对应位置元素相加得到的矩阵，称为矩阵与的和，记作，即.注意，只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.例1两种物资（单位：吨）同时从3个产地运往4个销地，其调运方案分别为矩阵和矩阵：，.则从各产地运往各销地的物资总调运量（单位：吨）为定义2以数乘阶矩阵的每一个元素

7、得到的矩阵，称为数与矩阵的积，记作，即若取，则有.称为矩阵的负矩阵.显然有,由此规定矩阵的减法为即若，，则例2设3个产地与4个销地之间的里程（单位：千米）为例1中的矩阵0.已知货物每吨公里的运费为1.50元，则各产地与各销地之间每吨货物的运费（单位：元／吨）可以记为矩阵形式：矩阵相加与数乘矩阵的运算，统称为矩阵的线性运算.矩阵的线性运算满足下面的运算律：设、、、都是阶矩阵，是数，则(i)(ii)(iii)(iv)(v)例3已知，且，求.解：由矩阵的加法和数乘运算律有一、矩阵的乘法设有两个线性变换则变量与变量的关系为(1)定义3设矩阵，.令则称

8、矩阵是矩阵与矩阵的乘积，记作.对于矩阵的乘法由定义注意到以下三点：(1)只有矩阵的列数等于的行数时，才有意义.(2)乘积矩阵的第行第列元素就是的第行上各元素与的第列