高等数学重积分.doc

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1、高等数学（2）学习辅导（8）重积分典型例题解析例1（1）根据二重积分的几何意义，=。（其中）（2）累次积分交换积分次序后，得到的积分为。　（3）已知积分区域，二重积分在直角坐标系下化为累次积分的结果是　　　　　　　　　。解（1）应填。由二重积分的几何意义，表示球心在圆点，半径为的上半球体的体积，故为。（2）应填。由已知的累次积分，得积分区域为，若变换积分次序，即先积后积，则积分变量的上、下限必须是常量，而积分变量的积分上、下限必须是常量或是的函数，因此积分区域应表为，于是交换后的积分为（3）应填或由已知的积分区域为可知区域满足联立不等式组，即而解得，因为两个积分变量的

2、上、下限都是常量，所以可随意选择积分的顺序，若先积后积，则应填，反之应填。例2（1）二重积分可表达为累次积分（　）。　　A.；B.；　　C.；D.　　（2）由曲面和及柱面所围的体积是（　）。　　A.；B.；　　C.；D.解（1）选择A因为积分区域是环域，若选择极坐标系计算积分，令，则代入解得区域，所以A正确；若选择直角坐标系计算积分，要利用积分区间的可加性，或利用区域的对称性，，于是再选择积分的顺序，若先积后积，则积分区域反之积分区域，所以C，D都是错误的。（2）选择由曲面和及柱面所围的体积应是以球面被圆柱面和面所截的体积，由二重积分的几何意义知，积分区域为，被积函数

3、为，若选择极坐标系求积分，则积分区域被积函数为，则体积为若利用积分区域和被积函数的对称性，可以计算第一象限的二重积分在4倍，这是积分区域，所以所求体积为故D正确。例3计算二重积分：（1），其中为所围成的平面区域。（2）,其中为抛物线和直线所围成的平面区域。y2=xoyxy=x-2计算直角坐标系的二重积分步骤是：1）画出区域的草图，根据图形的情况确定积分次序；2）联立方程求交点，按积分的顺序确定积分上、下限；3）代入公式计算积分值。解：（1）区域如图由区域的形状，选择先积后积。联立方程，解得交点为区域于是==（2）解法一：化为先对后对的累次积分。这时，区域的边界的下部是

4、由两段不同的曲线组成，因此用直线将区域分为和两部分。那么=+=+=0+解法二：化为先对后对的累次积分。这时可统一表示为因此显然，第二种解法较为简便。可见，无论怎样选择积分次序，其结果是相同的，但是选择的不同会影响计算的过程的繁简，有时的积分次序选择的不同可能造成二重积分不能计算。例4计算下列二重积分：（1），其中为圆周和及直线所围成的在第一象限的区域。（2），其中为圆周所围成的在区域。解把二重积分中的变量从直角坐标系变换为极坐标系，只需把被积函数中的分别换成，面积元换成即可，积分次序一般为先后。(1)采用极坐标系：积分区域如图，y={(于是ox====xoy（2）采用

5、极坐标系：积分区域如图，圆周的极坐标方程为，则积分区域为={(于是====