降次——解元二次方程.doc

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1、降次——解一元二次方程教学设计教学目标知识与技能：1．会用配方法、公式法、因式分解法解简单数字系数的一元二次方程。2．能够根据一元二次方程的特点，灵活选用解方程的方法，体会解决问题策略的多样性。过程与方法：1．参与对一元二次方程解法的探索，体验数学发现的过程，对结果比较、验证、归纳、理清几种解法之间的关系，并能根据方程的特点灵活选择适当的方法解一元二次方程。2．在探究一元二次方程的过程中体会转化、降次的数学思想。情感态度价值观：在解一元二次方程的实践中，交流、总结经验和规律，体验数学活动乐趣。教学重难点重点：掌握配方法、公式法、因式分解法解一元

2、二次方程的步骤，并熟练运用上述方法解题。难点：根据方程的特点灵活选择适当的方法解一元二次方程。教学方法探索发现，讲练结合教学媒体多媒体课时安排3课时教学过程设计第一课时一、复习引入请同学们解下列方程：（1）x2=4（2）(x+3)2=9找两个学生回答这两个方程的解。师总结强调：象这种通过直接开平方求得x的值的方法，实际上就是求x2=a（a≥0）这种特殊形式的一元二次方程的解的方法，叫做直接开平方法。（2）对于形如“(x+a)2=b(b≥0)”型的方程，只要把x+a看作一个整体，就可以转化为x2=b(b≥0)型的方法去解决，这里渗透了“换元”的方

3、法。（3）在对方程(x+3)2=9两边同时开平方后，原方程就转化为两个一次方程。要向学生指出，这种变形实质上是将原方程“降次”。“降次”也是一种数学方法此引入教师总结的要详细一点，这是为了让学生对这节课所学的知识首先有一个感性的认识，并且是对学生的一种提醒。这两个方程也是以前学过的内容，根据平方根的知识就可以解决，这里要说明是一元二次方程的特殊形式。二、新课讲解下面我们来看一个实际问题：问题1：一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？师生共同完成此题，教师要引

4、导学生依据已有的知识列出方程，再比较引言中的例题解此方程。分析：设正方体的棱长为xdm，则一个正方体的表面积为6x2dm2，解：根据一桶油漆可刷的面积，列出方程10×6x2=1500…………①由此可得：x2=25根据平方根的意义，得x=±5可以验证，5和-5是方程①的两个根，但是棱长不能是负值，所以正方体的棱长为5dm。师：对照上面解方程①的过程，你认为应怎样解方程(2x-1)2=5…②及方程x2+6x+9=2？学生甲：由方程(2x-1)2=5得，，即，…③所以方程的两个根为：，师：回答的非常好，由方程②得到方程③，实质上是把一个一元二次方程“

5、降次”，转化为两个一元一次方程，这样问题就解决了。师：同学们谁能说出方程x2+6x+9=2的根？学生乙：方程x2+6x+9=2的左边是完全平方形式，这个方程可以化成(x+3)2=2,进行降次，得，方程的根为，。师总结强调：如果方程能化成或的形式，那么可得或。我们再来看另一个问题：问题2：要使一块矩形场地的长比宽多6m，并且面积为16m2,场地的长和宽应各是多少？学生自己列出方程，有问题的教师要进行纠正。师：设场地的宽为x，所列方程为：，这个方程怎么解呢？　师要引导学生与方程x2+6x+9=2进行比较，看看能不能写成完全平方式的形式，这时候要对学

6、生进行必要的启发，让其自己根据这节课上所学过的知识，自己动脑筋解决，调动学生的学习积极性。依照下面的框图把一个一般方程化为完全平方式，并解这个方程：可以验证，2和-8是方程的两个根，但是场地的宽不能是负值，所以场地的宽为2m，长为8（即2+6）m。师总结强调：像上面这样，通过配方，把方程的一边化为完全平方式，另一边化为非负数，然后利用开平方的方法求出一元二次方程的根，这种方法叫做解一元二次方程的配方法。可以看出，配方是为了降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解。三、经典例题把下列方程化为（x+m）2=n（m，n是常数，n≥0）的形式

7、，并求出它们的解。（1）x2+2x=48；（2）x2-4x=12；（3）x2-6x+6=0；（4）。学生活动：初步体验用配方法解一元二次方程的步骤。例1解下列方程：（1）；（2）；（3）.这三个例题师生共同完成，学生通过此题明白每步变形的依据和目的。在此三个例题中，涉及二次项系数不是1的一元二次方程，也涉及没有实数根的一元二次方程。对于没有实数根的一元二次方程，学了“公式法”以后，学生对这个内容会有进一步的理解。做完后，教师总结配方法的步骤：①化1：把二次项系数化为1（方程两边都除以二次项系数）；②移项：把常数项移到方程的右边；③配方：方程两边

8、都加上一次项系数一半的平方；④变形：方程左边写成平方形式，右边合并同类项；⑤开方：根据平方根的意义，方程两边开平方；⑥求解：解一元一次方程；⑦定解：写