中学数学竞赛讲座及练习(第2讲)绝对值-学生版.doc

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1、第二讲绝对值 绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式，以及求解方程与不等式时，经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题．　　下面我们先复习一下有关绝对值的基本知识，然后进行例题分析．　　一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．即　　绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识，它与距离的概念密切相关．在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值．　　结合相反数的概念可知，除零外，绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数．反之，相反数的绝

2、对值相等也成立．由此还可得到一个常用的结论：任何一个实数的绝对值是非负数．　　例1、a，b为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？　　(1)｜a+b｜=｜a｜+｜b｜；　　(2)｜ab｜=｜a｜｜b｜；(3)｜a-b｜=｜b-a｜；　　(4)若｜a｜=b，则a=b；　　(5)若｜a｜＜｜b｜，则a＜b；　　(6)若a＞b，则｜a｜＞｜b｜．例2、设有理数a，b，c在数轴上的对应点如图1-1所示，化简｜b-a｜+｜a+c｜+｜c-b｜．　　例3已知x＜-3，化简：．　　例4若，则的所有可能值是什么？　　说明本例的解法是采取把a，b，c中大于零

3、与小于零的个数分情况加以解决的，这种解法叫作分类讨论法，它在解决绝对值问题时很常用．　　例5若｜x｜=3，｜y｜=2，且｜x-y｜=y-x，求x+y的值．例6若a，b，c为整数，且｜a-b｜19+｜c-a｜99=1，试计算｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜的值．　　例7若与互为相反数，求的值。　　　例8化简：｜3x+1｜+｜2x-1｜．　　说明解这类题目，可先求出使各个绝对值等于零的变数字母的值，即先求出各个分界点，然后在数轴上标出这些分界点，这样就将数轴分成几个部分，根据变数字母的这些取值范围分类讨论化简，这种方法又称为“零点分段法”．　　例9

4、已知y=｜2x+6｜+｜x-1｜-4｜x+1｜，求y的最大值．　　例10设a＜b＜c＜d，求｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜+｜x-d｜的最小值．　　例11若2x+｜4-5x｜+｜1-3x｜+4的值恒为常数，求x该满足的条件及此常数的值．　练习二　　　1．x是什么实数时，下列等式成立：(1)｜(x-2)+(x-4)｜=｜x-2｜+｜x-4｜；　　(2)｜(7x+6)(3x-5)｜=(7x+6)(3x-5)．　　2．化简下列各式：（1）　　(2)｜x+5｜+｜x-7｜+｜x+10｜．3．若a＋b＜0，化简｜a+b-1｜-｜3-a-b｜．4．已知y

5、=｜x+3｜+｜x-2｜-｜3x-9｜，求y的最大值．5．设T=｜x-p｜+｜x-15｜+｜x-p-15｜，其中0＜p＜15，对于满足p≤x≤15的x来说，T的最小值是多少？6．已知a＜b，求｜x-a｜+｜x-b｜的最小值．7．不相等的有理数a，b，c在数轴上的对应点分别为A，B，C，如果｜a-b｜+｜b-c｜=｜a-c｜，那么B点应为()．　　(1)在A，C点的右边；　　(2)在A，C点的左边；　　(3)在A，C点之间；　　(4)以上三种情况都有可能．