变分法简介(简单_明了_易懂).doc

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1、§1变分法简介作为数学的一个分支，变分法的诞生，是现实世界许多现象不断探索的结果，人们可以追寻到这样一个轨迹：约翰·伯努利（JohannBernoulli，1667－1748）1696年向全欧洲数学家挑战，提出一个难题：“设在垂直平面内有任意两点，一个质点受地心引力的作用，自较高点下滑至较低点，不计摩擦，问沿着什么曲线下滑，时间最短？”　　这就是著名的“最速降线”问题（TheBrachistochroneProblem）。它的难处在于和普通的极大极小值求法不同，它是要求出一个未知函数（曲线），来满足所给

2、的条件。这问题的新颖和别出心裁引起了很大兴趣，罗比塔（GuillaumeFrancoisAntoniedel'Hospital1661-1704）、雅可比·伯努利（JacobBernoulli1654-1705）、莱布尼茨（GottfriedWilhelmLeibniz,1646-1716）和牛顿（IsaacNewton1642—1727）都得到了解答。约翰的解法比较漂亮，而雅可布的解法虽然麻烦与费劲，却更为一般化。后来欧拉（EulerLonhard，1707～1783）和拉格朗日(Lagrange,J

3、osephLouis，1736-1813)发明了这一类问题的普遍解法，从而确立了数学的一个新分支——变分学。有趣的是，在1690年约翰·伯努利的哥哥雅可比·伯努利曾提出著名的悬链线问题(TheHangingChainProblem)向数学界征求答案，即，固定项链的两端，在重力场中让它自然垂下，问项链的曲线方程是什么。在大自然中，除了悬垂的项链外，我們还可以观察到吊桥上方的悬垂钢索，挂着水珠的蜘蛛网，以及两根电线杆之间所架设的电线，这些都是悬链线（catenary）。伽利略（Galileo,1564～16

4、43）比贝努利更早注意到悬链线，他猜测悬链线是抛物线，从外表看的确象，但实际上不是。惠更斯（Huygens,1629～1695）在1646年（当时17岁），经由物理的论证，得知伽利略的猜测不对，但那时，他也求不出答案。到1691年，也就是雅可比·伯努利提出悬链线问题的第二年，莱布尼兹、惠更斯（以62岁）与约翰·伯努利各自得到了正确答案，所用方法是诞生不久的微积分，具体说是把问题转化为求解一个二阶常微分方程解此方程并适当选取参数，得（1）即为悬链线。悬链线问题本身和变分法并没有关系，然而这和最速降线问题一

5、样都是贝努利兄弟间的相互争强好胜、不断争吵的导火索，虽然雅可比·贝努利在解决悬链线问题时略占下风，但他随后所证明的“悬挂于两个固定点之间的同一条项链，在所有可能的形状中，以悬链线的重心最低，具有最小势能”，算是扳回了一局，俩兄弟扯平了！之所以提到悬链线问题，有两方面考虑，其一，这是有关数学史上著名的贝努利家族内的一个趣闻，而这是一个在变分法乃至整个数学物理领域有着巨大贡献的家族，其二，有关悬链线的得几个结论，可以用变分法来证明！现实中很多现象可以表达为泛函极小问题，我们称之为变分问题。求解方法通常有两种

6、：古典变分法和最优控制论。我们这儿要介绍的基本属于古典变分法的范畴。1.1变分法的基本概念1.1.1泛函的概念设为一函数集合，若对于每一个函数有一个实数与之对应，则称是定义在上的泛函，记作。称为的容许函数集。例如，在上光滑曲线y(x)的长度可定义为（2）考虑几个具体曲线，取，若，则若y(x)为悬链线，则对应中不同的函数y(x)，有不同曲线长度值J，即J依赖于y(x)，是定义在函数集合上的一个泛函，此时我们可以写成我们称如下形式的泛函为最简泛函（3）被积函数包含自变量，未知函数(t)及导数(t)。如，上述

7、曲线长度泛函即为一最简泛函。1.1.2泛函极值问题考虑上述曲线长度泛函，我们可以提出下面问题：在所有连接定点的平面曲线中，试求长度最小的曲线。即，求，使取最小值。此即为泛函极值问题的一个例子。以极小值为例，一般的泛函极值问题可表述为，称泛函在取得极小值，如果对于任意一个与接近的，都有。所谓接近，可以用距离来度量，而距离可以定义为泛函的极大值可以类似地定义。其中称为泛函的极值函数或极值曲线。1.1.1泛函的变分如同函数的微分是增量的线性主部一样，泛函的变分是泛函增量的线性主部。作为泛函的自变量，函数在的增

8、量记为也称函数的变分。由它引起的泛函的增量记作如果可以表为其中为的线性项，而是的高阶项，则称为泛函在的变分，记作。用变动的代替，就有。泛函变分的一个重要形式是它可以表为对参数的导数：（4）这是因为当变分存在时，增量根据和的性质有所以1.2泛函极值的相关结论1.2.1泛函极值的变分表示利用变分的表达式（4），可以得到有关泛函极值的重要结论。泛函极值的变分表示：若在达到极值（极大或极小），则（5）证明：对任意给定的，是变量的函数，该函数在处达到