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《医用高等数学课件 2.1数列的极限.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、★§2.1数列的极限●§2.2函数的极限●§2.3无穷小量与无穷大量●§2.4极限的运算●§2.6无穷小量的比较●§2.5极限存在定理第二章极限一、概念的引入二、数列的定义三、数列的极限四、数列极限的性质五、小结思考题§2.1数列的极限极限概念起源于“无限逼近”的想法，经过几个世纪的提练，形成了严谨的数学概念，它具有抽象的形式、精确的语言和严密的逻辑。极限理论是微积分的基础，在高等数学中占有重要的地位。下面我们来追溯一下我国古代的极限思想。一、概念的引入“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、
2、割圆术：播放——刘徽“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无
3、所失矣”1、割圆术：——刘徽“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽正六边形的面积正十二边形的面积正形的面积祖冲之（429-500）在刘徽割圆术的基础上更是取得了前无古人的成就，使圆周率准确到小数点七位,并保持了1000多年的世界纪录.直到1427年才被中亚细亚数学家阿尔·卡西更精确的推算打破.祖冲之
4、2、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”极限概念和理论真正严格化是由十八世纪末到十九世纪由柯西开始并由魏尔斯特垃斯完成。从此分析学有了严格的基础。在漫长的历史过程中，一些杰出的数学家从极限观念出发，发展各种高超技巧解决了许多关于求瞬时速度、加速度、切线、极值、面积与体积等方面的问题。然而所有这些工作都是直接依赖直观的、不严密的概念，与今天所说的极限有很大的差别。虽然到十八世纪中叶，极限已成了微积分的基本概念，但在十九世纪以前，它仍然缺乏精确的表达形式。二、数列的定义例如注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数
5、轴上依次取2.数列是整标函数幻灯片21播放三、数列的极限问题:当无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.通过上面演示实验的观察:如果数列没有极限,就说数列是发散的.注意：几何解释:用“ε-N”语言证明数列极限的步骤1、化简
6、un-A
7、,需要时适当放大，得f(n);2、逆序分析求N，要使f(n)<ε，解不等式后只要n>g(ε)即可,于是取自然数N≥[g(ε)];3、按定义作结论.例1证所以,例2证所以,说明:常数列的极限等于同一常数.小结:用定义证数列极限存
8、在时,关键是任意给定寻找N,但不必要求最小的N.例3证例4证例5证明证当时即取故结论成立1、惟一性定理1每个收敛的数列的极限必是惟一的.证由定义,故收敛数列极限唯一.四、数列极限的性质例6证由定义,区间长度为1.不可能同时位于长度为1的区间内.2、有界性例如,有界无界定理2收敛的数列必定有界.证由定义,(1)无界数列必不存在极限,如注意(2)有界数列不一定存在极限,如3.保号性.若且时,有证:对a>0,取推论:若数列从某项起(用反证法证明)4、子数列的收敛性注意：例如，定理4收敛数列的任一子数列也收敛．且极限相同．证证毕．(2
9、)一个数列中若有两个子数列的极限存在，但不相等，则此数列的极限亦不存在。(1)一个数列中若有一个子数列的极限不存在，则该数列的极限必不存在。注意：5.夹逼准则(准则1)证:由条件(2),当时,当时,令则当时,有由条件(1)即故例7.证明证:利用夹逼准则.且由几个有用的极限（1）（2）（3）五、小结数列:研究其变化规律;数列极限:极限思想、精确定义、几何意义;收敛数列的性质:有界性、唯一性、保号性、子数列的收敛性、夹逼准则.思考题证明要使只要使从而由得取当时，必有成立思考题解答~（等价）证明中所采用的实际上就是不等式即证明中没有
10、采用“适当放大”的值从而时，仅有成立，但不是的充分条件．反而缩小为●思考题1.求极限2.若{an}满足(1)证明:(2)求:3设，，证明4求5若给定m个正数，试证其中◆作业P23:1(1)(3);2(1)(3),4,6,9,10,12,13
