初中数学竞赛精品标准教程及练习70:正整数简单性质的复习

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1、初中数学竞赛精品标准教程及练习(70)正整数简单性质的复习一.连续正整数一.n位数的个数:一位正整数从1到9,共9个,两位数从10到99,共90个,三位数从100到999共9×102个,那么n位数的个数共__________.(n是正整数)练习:1.一本书共1989页,用0到9的数码,给每一页编号,总共要用数码___个.2. 由连续正整数写成的数1234……9991000是一个_______位数;            100110021003……19881989是_______位数.3.除以3

2、余1的两位数有____个,三位数有____个,n位数有_______个.4.从1到100的正整数中,共有偶数____个,含3的倍数____个;从50到1000的正整数中,共有偶数____个,含3的倍数____个.二.连续正整数的和:1+2+3+……+n=(1+n)×.把它推广到连续偶数,连续奇数以及以模m有同余数的连续数的和.练习:5.计算2+4+6+……+100=__________.6.1+3+5+……+99=____________.7.5+10+15+……+100=_________.8

3、.1+4+7+……+100=____________.9.1+2+3+……+1989其和是偶数或奇数?答______10.和等于100的连续正整数共有______组,它们是______________________.11.和等于100的连续整数共有_____组,它们是__________________________.三.由连续正整数连写的整数,各位上的数字和整数123456789各位上的数字和是:(0+9)+(1+8)+…+(4+5)=9×5=45;1234…99100各位数字和是(0+9

4、9)+(1+98)+…+(49+50)+1=18×50+1=901.练习:12.整数1234……9991000各位上的数字和是_____________.13.把由1开始的正整数依次写下去,直到第198位为止:这个数用9除的余数是__________.14.由1到100这100个正整数顺次写成的数1234……99100中:①它是一个________位数;②它的各位上的数字和等于________;③从这一数中划去100个数字,使剩下的数尽可能大,那么剩下的数的前十位是_______________

5、____________.四.连续正整数的积:①1×2×3×…×n记作n!读作n的阶乘.②n个连续正整数的积能被n!整除.如:2!

6、a(a+1),3!

7、a(a+1)(a+2),n!

8、a(a+1)(a+2)…(a+n-1).a为整数.③n!中含有质因数m的个数是++…+.12[x]表示不大于x的最大正整数,i=1,2,3…mi≤n如:1×2×3×…×10的积中,含质因数3的个数是:=3+1=4练习:15.在100!的积中,含质因数5的个数是:____16.一串数1,4,7,10,……,697,70

9、0相乘的积中,末尾共有零_______个      17.求证:10494

10、1989!18.求证:4!

11、a(a2-1)(a+2)a为整数五.两个连续正整数必互质练习:19.如果n+1个正整数都小于2n,那么必有两个是互质数,试证之.二.正整数十进制的表示法一.n+1位的正整数记作:an×10n+an-1×10n-1+……+a1×10+a0其中n是正整数,且0≤ai≤9(i=1,2,3,…n)的整数,最高位an≠0.例如:54321=5×104+4×103+3×102+2×10+1.例题:从12到

12、33共22个正整数连写成A=121314…3233.试证:A能被99整除.证明:A=12×1042+13×1040+14×1038+……+31×104+32×102+33=12×10021+13×10020+14×1019+……+31×1002+32×100+33.∵100的任何次幂除以9的余数都是1,即100n=(99+1)n≡1(mod9)∴A=99k+12+13+14+……+31+32+33(k为正整数)=99k+(12+33)+(13+32)+…+(22+23)=99k+45×11=99

13、k+99×5.∴A能被99整除.练习:20.把从19到80的连结两位数连写成19202122…7980.试证明这个数能被1980整除二.常见的一些特例=10n-1,=(10n-1),(10n-1).例题:试证明12,1122,111222,11112222,……这些数中的任何一个,都是两个相邻的正整数的积.证明:第n个数是=×10n+=(10n+2)==12=×.证毕.练习:21.化简×+1=_______________________________.22.化简=______________

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