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1、123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566第五章相似矩阵及二次型1.试用施密特法把下列向量组正交化:⎛111⎞(1)(a,a,a)=⎜124⎟;123⎜⎟⎝139⎠解根据施密特正交化方法,⎛1⎞b=a=⎜1⎟,11⎜⎟⎝1⎠[b,a]⎛−1⎞b=a−12b=⎜0⎟,221[b,b]⎜⎟11⎝1⎠[b,a][b,a]1⎛1⎞b=a−13b−23b=⎜−2⎟
2、.3312[b,b][b,b]3⎜⎟1122⎝1⎠⎛11−1⎞⎜0−11⎟(2)(a1,a2,a3)=⎜−101⎟.⎜⎟⎝110⎠解根据施密特正交化方法,⎛1⎞⎜0⎟b1=a1=⎜−1⎟,⎜⎟⎝1⎠⎛1⎞b=a−[b1,a2]b=1⎜−3⎟221⎜2⎟,[b,b]311⎜⎟⎝1⎠⎛−1⎞b=a−[b1,a3]b−[b2,a3]b=1⎜3⎟3312⎜3⎟.[b,b][b,b]51122⎜⎟⎝4⎠2.下列矩阵是不是正交阵:67⎛11⎞⎜1−⎟23⎜11⎟(1)⎜−1⎟;22⎜⎟11⎜−1⎟⎝32⎠解此矩阵的第一个行向量非单位向量,故不是正交阵.⎛184⎞⎜−
3、−⎟999⎜814⎟(2)⎜−−⎟.999⎜⎟447⎜−−⎟⎝999⎠解该方阵每一个行向量均是单位向量,且两两正交,故为正交阵.3.设x为n维列向量,xTx=1,令H=E−2xxT,证明H是对称的正交阵.证明因为HT=(E−2xxT)T=E−2(xxT)T=E−2(xxT)T=E−2(xT)TxT=E−2xxT,所以H是对称矩阵.因为HTH=HH=(E−2xxT)(E−2xxT)=E−2xxT−2xxT+(2xxT)(2xxT)=E−4xxT+4x(xTx)xT=E−4xxT+4xxT=E,所以H是正交矩阵.4.设A与B都是n阶正交阵,证明AB也是正交阵
4、.证明因为A,B是n阶正交阵,故A−1=AT,B−1=BT,(AB)T(AB)=BTATAB=B−1A−1AB=E,故AB也是正交阵.5.求下列矩阵的特征值和特征向量:⎛2−12⎞(1)⎜5−33⎟;⎜⎟⎝−10−2⎠2−λ−12解
5、A−λE
6、=5−3−λ3=−(λ+1)3,−10−2−λ故A的特征值为λ=−1(三重).68对于特征值λ=−1,由⎛3−12⎞⎛101⎞A+E=⎜5−23⎟~⎜011⎟,⎜⎟⎜⎟⎝−10−1⎠⎝000⎠得方程(A+E)x=0的基础解系pT1=(1,1,−1),向量p1就是对应于特征值λ=−1的特征值向量.⎛123⎞(2)⎜2
7、13⎟;⎜⎟⎝336⎠1−λ23解
8、A−λE
9、=21−λ3=−λ(λ+1)(λ−9),336−λ故A的特征值为λ1=0,λ2=−1,λ3=9.对于特征值λ1=0,由⎛123⎞⎛123⎞A=⎜213⎟~⎜011⎟,⎜⎟⎜⎟⎝336⎠⎝000⎠得方程Ax=0的基础解系pT1=(−1,−1,1),向量p1是对应于特征值λ1=0的特征值向量.对于特征值λ2=−1,由⎛223⎞⎛223⎞A+E=⎜223⎟~⎜001⎟,⎜⎟⎜⎟⎝337⎠⎝000⎠得方程(A+E)x=0的基础解系pT2=(−1,1,0),向量p2就是对应于特征值λ2=−1的特征值向量.对于特征值λ3
10、=9,由⎛−823⎞⎛⎜11−1⎞⎟A−9E=⎜2−83⎟~01−1⎜⎟,⎜⎟2⎝33−3⎠⎜000⎟⎝⎠得方程(A−9E)x=0的基础解系pT3=(1/2,1/2,1),向量p3就是对应于特征值λ3=9的特征值向量.⎛0001⎞⎜0010⎟(3)⎜0100⎟.⎜⎟⎝1000⎠69−λ0010−λ1022解
11、A−λE
12、==(λ−1)(λ+1),01−λ0100−λ故A的特征值为λ1=λ2=−1,λ3=λ4=1.对于特征值λ1=λ2=−1,由⎛1001⎞⎛1001⎞⎜0110⎟⎜0110⎟A+E=⎜0110⎟~⎜0000⎟,⎜⎟⎜⎟⎝1001⎠⎝0000⎠
13、得方程(A+E)x=0的基础解系pTT1=(1,0,0,−1),p2=(0,1,−1,0),向量p1和p2是对应于特征值λ1=λ2=−1的线性无关特征值向量.对于特征值λ3=λ4=1,由⎛−1001⎞⎛100−1⎞⎜0−110⎟⎜01−10⎟A−E=⎜01−10⎟~⎜0000⎟,⎜⎟⎜⎟⎝100−1⎠⎝0000⎠T,pT得方程(A−E)x=0的基础解系p3=(1,0,0,1)4=(0,1,1,0),向量p3和p4是对应于特征值λ3=λ4=1的线性无关特征值向量.6.设A为n阶矩阵,证明AT与A的特征值相同.证明因为
14、AT−λE
15、=
16、(A−λE)T
17、=
18、A
19、−λE
20、T=
21、A−λE
22、,所以AT与A的特征多项式相同,从而AT与A的特征值相同
