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《高考理数 空间角与距离、空间向量及其应用.pptx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、§8.4空间角与距离、空间向量及其应用高考理数(课标专用)A组 统一命题·课标卷题组考点一 空间角与距离1.(2018课标Ⅰ,12,5分)已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面α所成的角都相等,则α截此正方体所得截面面积的最大值为( )A.B.C.D.五年高考答案 A本题主要考查空间直线与平面的位置关系及其所成角问题.由正方体的性质及题意可得,正方体共顶点的三条棱所在直线与平面α所成的角均相等.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,易知棱AB,AD,AA1所在直线与平面A1BD所成的角均相等,所以α∥平面A1BD,当平面α趋近点A时,截面图形
2、的面积趋近于0;当平面α经过正方体的中心O时,截面图形为正六边形,其边长为,截面图形的面积为6××=;当平面α趋近于C1时,截面图形的面积趋近于0,所以截面图形面积的最大值为,故选A.解题关键利用正方体的性质,将每条棱所在直线与平面α所成角转化为共顶点的三条棱所在直线与平面α所成角是解决本题的关键.方法点拨利用特殊位置与极限思想是解决选择题的常用方法.2.(2018课标Ⅱ,9,5分)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为( )A.B.C.D.答案C本题考查异面直线所成的角.解法一:如图,将长方
3、体ABCD-A1B1C1D1补成长方体ABCD-A2B2C2D2,使AA1=A1A2,易知AD1∥B1C2,∴∠DB1C2或其补角为异面直线AD1与DB1所成的角.易知B1C2=AD1=2,DB1==,DC2===.在△DB1C2中,由余弦定理的推论得cos∠DB1C2===-,∴异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为.故选C.解法二:以A1为原点建立空间直角坐标系(如图),则A(0,0,),D1(0,1,0),D(0,1,),B1(1,0,0),所以=(0,1,-),=(1,-1,-),所以cos<,>===.故选C.方法总结常见的求异面直线所成角的方法(1
4、)通过平移找到异面直线所成的角或其补角,构造三角形,通过解三角形求解;(2)建立空间直角坐标系,由向量的夹角公式求解.3.(2014课标Ⅱ,11,5分)直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成角的余弦值为( )A.B.C.D.答案 C解法一:取BC的中点Q,连接QN,AQ,易知BM∥QN,则∠ANQ或其补角即为所求,设BC=CA=CC1=2,则AQ=,AN=,QN=,∴cos∠ANQ====,故选C.设BC=CA=CC1=2,则A(2,0,2),N(1,0,0),M(1
5、,1,0),B(0,2,2),∴=(-1,0,-2),=(1,-1,-2),∴cos<,>====,故选C.解法二:以C1为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,4.(2016课标Ⅰ,11,5分)平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为( )A.B.C.D.答案 A如图,延长B1A1至A2,使A2A1=B1A1,延长D1A1至A3,使A3A1=D1A1,连接AA2,AA3,A2A3,A1B,A1D.易证AA2∥A1B∥D1C,AA3∥A1D∥B1C.
6、∴平面AA2A3∥平面CB1D1,即平面AA2A3为平面α.于是m∥A2A3,直线AA2即为直线n.显然有AA2=AA3=A2A3,于是m、n所成的角为60°,其正弦值为.选A.思路分析先利用平行关系作出平面α,进而确定直线m与直线n的位置,然后求m,n所成角的正弦值.疑难突破本题的难点是明确直线m、n的具体位置.为此适当扩形是常用策略.5.(2018课标Ⅲ,19,12分)如图,边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直,M是上异于C,D的点.(1)证明:平面AMD⊥平面BMC;(2)当三棱锥M-ABC体积最大时,求面MAB与面MCD所成二面角的正
7、弦值.解析本题考查面面垂直的判定、二面角的计算、空间向量的应用.(1)由题设知,平面CMD⊥平面ABCD,交线为CD.因为BC⊥CD,BC⊂平面ABCD,所以BC⊥平面CMD,故BC⊥DM.因为M为上异于C,D的点,且DC为直径,所以DM⊥CM.又BC∩CM=C,所以DM⊥平面BMC.而DM⊂平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC.(2)以D为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.当三棱锥M-ABC体积最大时,M为的中点.由题设得D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),M(0,1,1),=(-2,1
8、,1),=(0,2,0),=(2,0,
