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《2019_2020学年高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.3空间向量与空间角练习新人教A版.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、3.2.3空间向量与空间角(建议用时：40分钟)基础篇一、选择题1．若异面直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角为150°，则l1与l2所成的角为( )A．30° B．150°C．30°或150°D．以上均不对【答案】A [l1与l2所成的角与其方向向量的夹角相等或互补，且异面直线所成角的范围为.应选A．]2．已知二面角αlβ的两个半平面α与β的法向量分别为a，b，若〈a，b〉＝，则二面角αlβ的大小为( )A．B．C．或D．或【答案】C [由于二面角的范围是[0，π]，而二面角的两个半平面α与β的法向量都有
2、两个方向，因此二面角αlβ的大小为或，故选C．]3.如图3227，空间正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成角的大小是( )图3227A．B．C．D．【答案】D [以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为坐标轴建系(图略)，则＝，＝，cos〈，〉＝＝0.∴〈，〉＝.]4．已知在正四面体ABCD中，E为棱AD的中点，则CE与平面BCD的夹角的正弦值为( )A． B． C． D．【答案】B [作AO⊥平面BCD于点O，则O是△BCD的中心，以O为坐标原点，直线OD
3、为y轴，直线OA为z轴建立空间直角坐标系，如图所示．设AB＝2，则O(0,0,0)，A，C，E，∴＝，＝，∴cos〈，〉＝＝＝.∴CE与平面BCD的夹角的正弦值为.]5．如图3228所示，已知四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC的中点，则二面角CBFD的正切值为( )图3228A．B．C．D．【答案】D [如图所示，设AC与BD交于点O，连接OF.以O为坐标原点，OB，OC，OF所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Oxyz.设PA＝AD＝AC＝1，则BD＝，所以
4、O(0,0,0)，B，F，C，＝，易知为平面BDF的一个法向量，由＝，＝，可得平面BCF的一个法向量为n＝(1，，)．所以cos〈n，〉＝，sin〈n，〉＝，所以tan〈n，〉＝.故二面角CBFD的正切值为.]二、填空题6．若直线l的方向向量a＝(－2,3,1)，平面α的一个法向量n＝(4,0,1)，则直线l与平面α所成角的正弦值为________．【答案】 [由题意，得直线l与平面α所成角的正弦值为＝＝.]7．已知点E，F分别在正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AE
5、F与平面ABC所成的二面角的正切值等于________．【答案】 [如图，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，平面ABC的法向量为n1＝(0,0,1)，平面AEF的法向量为n2＝(x，y，z)．所以A(1,0,0)，E，F，所以＝，＝，则即取x＝1，则y＝－1，z＝3.故n2＝(1，－1,3)．所以cos〈n1，n2〉＝＝.所以平面AEF与平面ABC所成的二面角的平面角α满足cosα＝，sinα＝，所以tanα＝.]8．如图3229，正三角形ABC与正三角形BCD所在的平面互相垂直，则直线CD与平面ABD所成角的正弦值为
6、________.图3229【答案】 [取BC的中点O，连接AO，DO，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.设BC＝1，则A，B，C，D，所以＝，＝，＝.设平面ABD的法向量为n＝(x，y，z)，则，所以，取x＝1，则y＝－，z＝1，所以n＝(1，－，1)，所以cos〈n，〉＝，因此直线CD与平面ABD所成角的正弦值为.]三、解答题9.如图3230，平面ABDE⊥平面ABC，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝4，四边形ABDE是直角梯形，BD∥AE，BD⊥BA，BD＝AE＝2，O，M分别为CE，AB的中点．图3230(
7、1)求异面直角AB与CE所成角的大小；(2)求直线CD与平面ODM所成角的正弦值．【答案】(1)∵DB⊥BA，平面ABDE⊥平面ABC，平面ABDE∩平面ABC＝AB，DB⊂平面ABDE，∴DB⊥平面ABC．∵BD∥AE，∴EA⊥平面ABC．如图所示，以C为坐标原点，分别以CA，CB所在直线为x，y轴，以过点C且与EA平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系．∵AC＝BC＝4，∴C(0,0,0)，A(4,0,0)，B(0,4,0)，E(4,0,4)，∴＝(－4,4,0)，＝(4,0,4)．∴cos〈，〉＝＝－，∴异面直线AB与C
8、E所成角的大小为.(2)由(1)知O(2,0,2)，D(0,4,2)，M(2,2,0)，∴＝(0,4,2)，＝(－2,4,0)，＝(－2,2,2)．设平面ODM的法向量为n＝(x，y，z)，则由，可得，令x＝2，则y＝1，z＝1，∴n＝(2,1,1)．设直线CD与平面ODM所成的角为θ，则
