2、x)=c(c为常数)eg:arctanx+arccotx=π2,x∈R.▪如果在区间(a,b)内f'(x)=g'(x),则(a,b)内f(x)-g(x)=c(c为常数)▪柯西中值定理：设函数f(x)和g(x)满足：f(x)与g(x)在[a,b]上连续,f(x)与g(x)在(a,b)内可导，且g'(x)≠0，则在(a,b)内至少存在一点ξ，使fb-f(a)gb-g(a)=f'(ε)g'(ε).▪L’Hospital法则:适用于00型未定式和∞∞型未定式.limx→x0f(x)g(x)=limx→x0f
3、'(x)g'(x)(求导后若仍为以上两类型未定式，L’Hospital法则可反复应用)▪其它未定式：0∙∞型：翻（即取倒数）.∞-∞型：通分、分子有理化.1∞型：重要极限Ⅱ、取对数.00型和∞0型：取对数.函数单调性：设函数y=f(x)在[a,b]上连续，f(x)在(a,b)内可导.Ⅰ)如果在(a,b)内f'(x)>0，则函数y=f(x)在[a,b]上单增.Ⅱ)如果在(a,b)内f'(x)<0，则函数y=f(x)在[a,b]上单减.注：闭区间换成其它各种区间（包括无穷区间），结论也成立.注：f''(
4、x)>0f'x单增f'''(x)>0f''(x)单增[以此类推]极值：设函数f(x)在点x0处具有导数，且x0是极值点，则必有f'(x)=0.可导函数极值点必是驻点.驻点不一定是极值点.导数不存在的点也可能是极值点.▪函数取得极值的一阶充分条件：设函数f(x)在x0处连续，在点x0的去心邻域内可导且f(x)在在x0处的导数为0或不存在，那么Ⅰ)如果当x0，而当x>x0时f'x0<0，则fx0是函数f(x)的极大值.Ⅱ)如果当xx0时f'x0>0，则fx
5、0是函数f(x)的极小值.Ⅲ）如果不论xx0，总有f'x0>0或f'x0<0，则fx0不是函数f(x)的极值.▪函数取得极值的二阶充分条件：设函数f(x)在x0处具有二阶导数，且f'x0=0，f''x0≠0.那么Ⅰ)f''x0>0，则x0是f(x)的极小值点.Ⅱ)f''(x0<0，则x0是f(x)的极大值点.函数的凹凸性与拐点：▪设函数f(x)在(a,b)内可导，若f'(x)在(a,b)内单调增加(减少)，则函数f(x)在(a,b)内是凹(凸)函数.▪设函数f(x)在(a,b)内具有二
6、阶导数.Ⅰ)若在(a,b)内f''(x)>0,f(x)是(a,b)的凹函数.Ⅱ)若在(a,b)内f''(x)<0,f(x)是(a,b)的凸函数.▪拐点：连续曲线凹凸部分的分界点.设(x0,fx0)为连续曲线的拐点，若f''x0存在，必有f''x0=0▪求单调区间，极值，凹凸性，拐点：1.求f(x)的定义域，计算一阶导数、二阶导数.2.找出f'(x)=0的点和导数不存在的点，f''(x)=0的点和不存在的点，用这些点将定义域分成若干个子区间.3.确定f'(x)，f''(x)在上述各点邻近的符号.4.利
7、用函数单调性判别法，在每个子区间上讨论函数单调性.判断是否为极值点.判断上述各点两侧附近的凹凸性，凹凸性相反即为拐点.▪函数的最值：f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上必有最大值和最小值.▪f(x)在[a,b]上求最值的方法：[最值在端点处或极值点上取到]1)求出f'(x)在(a,b)内的零点和不存在的点x1,x2,…,xn.2)计算出函数值f(x1),f(x2),…,f(xn)和端点处函数值f(a),f(b).3)比较.▪函数最值在经济分析中的应用：利润最大化原则：R'(q)=C'
8、(q),R''(q)
