求不定方程整数解的方法浅析

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1、求不定方程整数解的方法浅析摘要：第一章：引言所谓不定方程，是指未知数的个数多于独立方程式的个数的方程或方程组.因此，要求一个不定方程的全部的解抑或是其全部整数解都是相当困难的，有时甚至是不可能的或不现实的.然而，在现实生活中，特别是一些具体的生活实例中，它的应用又是非常的广泛的；另外，不定方程的重要性在数学竞赛中也得到了充分体现，每年世界各地的数学竞赛中，不定方程问题都占有一席之地；它也是培养和考查学生数学思维的好材料，数学竞赛中的不定方程问题，不仅要求选手对初等数论的一般理论、方法要有一定的了解，而且更需要讲究思想、方法与技巧，创造性的解决相关问题.数千年来，不定方程问题一直是一些数学家甚

2、至草根阶级的数学爱好者研究的热点问题，仿佛它是一块资源丰富的土地，每个人都能有希望在这占有自己的一席之地.也正是由于它具有这样一个特点，不定方程的类型，以及解各类不定方程的各种方法层出不穷，求解各类不定方程也几乎毫无固定章法可循，而本文，只针对于不定方程整数解问题做一个初步的探索，归纳提炼出一些解这类题的常规方法和技巧，对解不定方程具有一定的指导意义；并且着重针对中学数学竞赛中的不定方程整数解问题进行分析，研究其方法，思想，具有一定的教学意义；另外，还根据自己的积累，总结，发掘出一些新的方法，技巧，具有创新和学习的意义.第二章：解决某些不规则类不定方程的常规思想方法1、不等式分析法其一般操作

3、步骤：想办法通过构造不等式求出其中某个（某些）变量的范围；根据该变量的范围求出该变量的整数解；分情况讨论该变量分别取某个整数解时其他变量的取值.常见的构造不等式的技巧：注意题中的隐含条件，常见的如：1）若给出的是对称形式的不定方程，解题是可增加一个“不妨设”的条件.2）若题目要求是正整数解，则有“”若要求是相异的正整数，则有“”利用基本不等式求变元范围，常见的如“”分离变量：可将某个变量分离出来，并通过该变量的范围求其他变量的范围.④可利用二次方程有整数解的条件，即“”，或更强点的“为完全平方数”.常规应用：一般在某些对称式中能用到此方法进行放缩估值；在具体的限制某个（或某些）变量的范围时，

4、可分离变量利用此方法对其他变量进行估值；对于方程“（其中u,v,w是常数或者是含其他变量的式子）”可利用关于x的方程有整数根的条件，即“”，或更强点的“为完全平方数”对其他变量进行估值；④具体能通过变形转化为关于某些整体的表达式，再利用常规不等式进行估值，比如”转化为关于x+y与xy的表达式，用等“例1：求不定方程的正整数解.解：方法1：由于此不定方程是对称的，这里不妨设，则1）当x=1时，经检验：不满足方程；2）当x=2时，经检验：满足方程，满足方程；2）当x=3时，经检验：不满足方程，不满足方程，不满足方程；∴综上所述：取消不妨设，由对称性知：不定方程的正整数解为方法2：已知方程化为令，

5、则即利用不等式：则：1）当t=2时，此方程无正整数解；2）当t=3时，，3）当t=4时，.∴综上所述：不定方程的正整数解为例2：求不定方程的整数解.解：方法1：已知方程可化为:,则此方程可看成关于x的一元二次方程有整数解的情况∴=4（1-5y)则必是一个完全平方数，这里不妨设：∴由求根公式：故方程要有整数根，当且仅当经检验：符合题意当时，，，当时，，，∴综上所述：原方程的整数解为方法2：已知方程化为：分离y:事实上当y=0时，x=,不合题意，则有：，即∴(*)i）若则有：无解ii）若由x为整数则有,则(*)式化为：∴∴当时，y=-3;当时，y=-7;当时，不合题意舍去;当时，不合题意舍去;∴

6、综上所述：原方程的整数解为2、同余分析法其一般操作步骤：方程两边同时取特殊数的模，消去部分未知数，将等式化为同余式；由同余式来估计剩下未知数的取值范围（或特征），从而达到解不定方程的目的.注意：实现这一过程的关键在于取什么数作为模，这需要较强的观察力！常规的取模原则：能消去某些未知数时，取它的系数（或底数）作模；由费马小定理有“”频率较高者有模3，模4，模8.常规应用：事实上，同余理论在证明一个不定方程无整数解时有广泛而方便的应用；一般对于某些指数不定方程，或某些系数较大的方程应用同余理论能起到一个很好的简化作用；具体的：它能解决“Ax+By=C"型整数解问题.例1：求不定方程7x+19y=

7、213的正整数解.解：方程两边同时得：两边同时乘以3：代入原方程得：∴（其中k为整数）令x>0,y>0,得，∴∴k=0,1.∴方程的正整数解为例2：证明：无整数解.证明：（*）设是方程的整数解，1）若，则，2）若，则，故，从而，与（*）式矛盾该方程无整数解.例3：求不定方程的全部正整数解.解：i）若，则方程两边模4得：，矛盾；ii）若，则方程两边模3，得：，∴y为奇数若x>1,方程两边模8得：即，又∴，这与y