习题8.2反常积分的收敛判别法

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1、习题8.2反常积分的收敛判别法⒈⑴证明比较判别法（定理8.2.2）；⑵举例说明，当比较判别法的极限形式中或时，和的敛散性可以产生各种不同的的情况。解（1）定理8.2.2（比较判别法）设在上恒有，其中是正常数。则当收敛时也收敛；当发散时也发散。证当收敛时，应用反常积分的Cauchy收敛原理，，，：。于是，所以也收敛；当发散时，应用反常积分的Cauchy收敛原理，，，：。于是，所以也发散。（2）设在上有，且。则当发散时，也发散；但当收敛时，可能收敛，也可能发散。例如，，则。显然有收敛，而对于，则当时收敛，当时17发散。设在上有，且。则当收敛时，也收敛；但当发散时，可能发

2、散，也可能收敛。例如，，则。显然有发散，而对于，则当时发散，当时收敛。⒉证明Cauchy判别法及其极限形式（定理8.2.3）。证定理8.2.3（Cauchy判别法）设在上恒有，是正常数。⑴若，且，则收敛；⑵若，且，则发散。推论（Cauchy判别法的极限形式）设在上恒有，且，则⑴若，且，则收敛；⑵若，且，则发散。证直接应用定理8.2.2（比较判别法）及其推论（比较判别法的极限形式），将函数取为。⒊讨论下列非负函数反常积分的敛散性：⑴;⑵;⑶;⑷（）.解（1）当时，～，17所以积分收敛。（2）当时，～，所以积分收敛。（3）因为当时有，而积分发散，所以积分发散。（4）当时

3、，～，所以在时，积分收敛，在其余情况下积分发散。⒋证明：对非负函数，收敛与收敛是等价的。证显然，由收敛可推出收敛，现证明当时可由收敛推出收敛。由于收敛，可知极限存在而且有限，由Cauchy收敛原理，，，：，于是与，成立与，这说明积分与都收敛，所以积分收敛。⒌讨论下列反常积分的敛散性（包括绝对收敛、条件收敛和发散，下同）：17⑴;⑵（）;⑶（）;⑷;⑸（和分别是和次多项式，在范围无零点。）解（1）因为有界，在单调，且，由Dirichlet判别法，积分收敛；由于，而积分发散，收敛，所以积分发散，即积分条件收敛。（2）当时，，而收敛，所以当时积分绝对收敛；当时，因为有界，

4、在单调，且，由Dirichlet判别法，积分收敛；但因为当时积分发散，所以当时积分条件收敛。（3）当时，，而收敛，所以当时积分绝对收敛；当时，因为有界，在单调，且17，由Dirichlet判别法，积分收敛；但因为当时积分发散，所以当时积分条件收敛。（4）令，，由于条件收敛，可知积分条件收敛。（5）当且充分大时，有，可知当时积分绝对收敛。当时，因为有界，且当充分大时，单调且，由Dirichlet判别法可知收敛；但由于当时，～，易知发散，所以当时，积分条件收敛。当时，由，为非零常数、或，易知积分发散。⒍设在只有一个奇点，证明定理8.2.和定理8.2.。定理8.2.（Ca

5、uchy判别法）设在上恒有，若当属于的某个左邻域时，存在正常数，使得17⑴，且，则收敛；⑵，且，则发散。证（1）当时，积分收敛，由反常积分的Cauchy收敛原理，，，：。由于，所以收敛。（2）当时，积分发散，由反常积分的Cauchy收敛原理，，，：。由于，所以发散。推论（Cauchy判别法的极限形式）设在上恒有，且，则⑴若，且，则收敛；⑵若，且，则发散。证（1）由（），可知，：，再应用定理8.2.的（1）。（2）由（），可知，：，17再应用定理8.2.的（2）。定理8.2.若下列两个条件之一满足，则收敛：⑴（Abel判别法）收敛，在上单调有界；⑵（Dirichlet

6、判别法）在上有界，在上单调且。证（1）设，因为收敛，由Cauchy收敛原理，，，：。由积分第二中值定理，。（2）设，于是，有。因为，，，，有。由积分第二中值定理，。所以无论哪个判别法条件满足，由Cauchy收敛原理，都有收敛的结论。⒎讨论下列非负函数反常积分的敛散性：⑴;⑵;⑶;⑷;⑸;⑹;⑺.解（1）因为～，～17，所以积分收敛。（2）因为，且对任意，，即当充分小时，有，所以积分收敛。（3）因为～，～，所以积分发散。（4）因为～，所以当时积分收敛，当时积分发散。（5）首先对任意的与任意的，有，即当充分小时，有；且～。所以当时，积分收敛，当时，积分发散。（6）～，～

7、，所以在时积分收敛，在其余情况下积分发散。（7）～，且，即当充分小时，有，所以当时积分收敛，在其余情况下积分发散。17⒏讨论下列反常积分的敛散性：⑴();⑵;⑶;⑷;⑸;⑹;⑺;⑻.解（1）。当，时积分与积分显然收敛，且当时，～，即不是反常积分，所以积分收敛。（2）。因为～，～，所以积分收敛；因为17～，～，所以积分收敛；因为～，～，所以积分收敛。由此可知积分收敛。（3）。由～，可知当时，积分收敛，当时，积分发散；当时，，即当充分大时，有，其中，可知当时，积分收敛，当时，积分发散；综上所述，当时，积分收敛，在其余情况下积分发散。17（4）。由～,可知当时积分收敛