同济第六版高数课件.ppt

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1、一几个例子§1微分方程的基本概念第12章常微分方程二微分方程的基本概念定义阶方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数二阶及二阶以上的微分方程称为高阶微分方程只讨论显式形式的常微分方程,且f连续的情况n阶常微分方程的形式常微分方程:一元+导数偏微分方程:多元+偏导数微分方程的解代入方程使成为恒等式的函数通解含有任意常数的解,且常数的个数=阶数特解通解中满足问题所给的特定条件的解1)除了极个别情况,通解包含所有的解2)几何上,通解表示平面曲线族,特解为曲线族中的一条曲线注初值问题求微分方程特解的问题注1)只介绍某些类

2、型的常微分方程的求解方法不讨论相关的理论问题(存在性唯一性稳定性)2)解法具有针对性,不同类型方程用不同的解法.初始条件特解中的特定条件初始条件要适当给定:称为适定解方程回代常数一可分离变量的方程解法例1解证§2可分离变量的微分方程例2解例3解注二例题例5解例4解可分离变量例6解隐一齐次方程解法§3齐次方程例1解例2解二可化为齐次方程解法进行变换,化为齐次或可分离变量方程例3解解解解例4三用变量代换求微分方程的解例5例6一一阶线性方程齐次方程的通解非齐次方程的通解—常数变易法§4一阶线性微分方程=齐通+特解例

3、1解解例2例3解解法二伯努利方程例5解解例6例4解定义一全微分方程解法§5全微分方程2)直接凑全微分常用凑微公式例1解1解2二积分因子例2解例3解解法例1解逐次积分例2解§6可降阶的高阶微分方程例3解解例4解法解法例5解例6解1通解解2一n阶线性微分方程一般形式有很多实际问题中的方程是高阶线性微分方程二阶§7高阶线性微分方程解的结构二函数组的线性相关与无关概念线性相关线性无关定义齐次方程三二阶线性微分方程解的结构非齐次方程证例1解线性微分方程的迭加原理注例2解四解非齐次方程(2)的降阶法p299代入方程(2)

4、方程(2)通解例3解齐次通解非齐特解另一无关的齐解已知对应齐次方程通解设非齐次方程通解为(4)(5)(4),(5)联立方程组*五解非齐次方程(2)的常数变易法例4解方程通解为积分得一解的特征方程法特征方程通解通解§8二阶常系数齐次线性方程的解法通解例1解例2解例3解特征方程为每个特征根都对应着通解中一项,带有一个任意常数.注例4解例5解设§9二阶常系数非齐次线性微分方程例1解例2解例3解例4解例5解例6解例7解齐次方程可化为齐次可分离变量线性方程伯努利方程全微分方程一阶微分方程例1解解1例2例3解齐次方程或B

5、方程一阶线性方程解2例5解1一阶线性方程解2全微分方程解例4B方程例6B方程解例8解例7解x(y)一阶线性方程例9解解例10例11解例13例12解解二解可分离变量解齐次方程解一阶线性方程解1B方程解2解一阶线性方程一判别类型二解方程课堂练习二阶线性微分方程例2解解例1例4解1解2例3解例5解例6解例7例8解解得解例9例10解例11解例12解例13解(02考研)解解1解2解1一阶线性解2欧拉方程6.解解解6.课堂练习例17解(03考研)