高考数学复习点拨 例谈一道课本习题的探究与变式.doc

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1、例谈一道课本习题的探究与变式第1题:如图1,四面体DABC中，AB，BC，BD两两垂直，且,E是AC中点，异面直线AD与BE所成的角为，且，求四面体ABCD的体积。分析：依题意知平面ABC,且可求，只需求出三棱柱的高BD即可。解1（几何法）取CD种点F，连结EF,BF如图2,∵E中点AC，∴EF//AD,且,,在中，,解得.解2（向量法）以BC,BA,BD为坐标轴建立空间直角坐标系如图3，则，设，则，解得，点评：求BD的长，即求点D到平面ABC的距离。注意向量夹角的范围是，异面直线所成角的范围是。变式1如图4:四棱锥P—ABCD中,底面四边形ABCD是正方形,侧面PDC是边长

2、为a的正三角形,且平面PDC⊥底面ABCD,在PC上是否存在一点E使异面直线PA与DE所成的角余弦值为解:若存在,取DC的中点O,连PO,∵△PDC为正三角形,∴PO⊥DC.又∵面PDC⊥面ABCD,∴PO⊥面ABCD.建立空间直角坐标系如图4,则.∵E在PC上,设,又,用心爱心专心即,解得或（舍去）,此时,故当E为PC中点时,异面直线PA与DE所成的角余弦值为变式2.如图所示的多面体是由底面为的长方形被截面所截而得到的，其中，，，。求点到平面的距离。分析：求点C到平面的距离用向量法较为容易，先设为平面的法向量，与的夹角为，求出，然后用求点到面的距离。解：以D为坐标原点建立空

3、间直角坐标系如图，则。设为平面的法向量，显然不垂直于平面，故可设，由得，即，∴。又，设与的夹角为，则。∴到平面的距离为。变式3.直三棱柱的侧棱，在底面中，，。求直线到平面的距离。分析：线与面的距离可以转化为点到面的距离,利用等体积转化法求解或向量法求解。解：如图6，平面，平面，∴点到平面的距离，即直线到平面的距离。设点到平面的距离为。又平面，平面。同理平面，又，。由得，解得故直线到平面的距离用心爱心专心