附录1 截面的几何性质.ppt

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1、§1静矩和形心§2极惯性矩、惯性矩和惯性积附录Ⅰ：截面的几何性质概述在实际工程中发现，同样的材料，同截面积，由于横截面的几何形状不同，构件的强度、刚度有明显不同，研究截面几何性质的目的就是解决如何用最少的材料，制造出能承担较大荷载的杆件的问题。如一张纸（或作业本），两端放在铅笔上，明显弯曲，更不能承载东西了。但把同一张纸折成波浪状（象石棉瓦状），这时纸的两端再搁在铅笔上，不仅不弯曲，再放上一支铅笔，也不弯曲。概述●截面的几何性质这些与构件横截面的形状、尺寸有关的量统称为截面的几何性质——截面面积A、极惯性矩IP、静矩、惯性矩、惯性积。概述●意义截面设计§Ⅰ-1

2、静矩和形心一、简单图形的静矩（面积矩、一次矩）dA对y轴的微静矩:dA对z轴的微静矩:1、定义：和分别称为该截面对z轴和y轴的静矩：§Ⅰ-1静矩和形心一、简单图形的静矩（面积矩、一次矩）2、性质：●静矩是对一定的轴而言的，不同截面对同一坐标轴的静矩不同，同一截面对不同的轴的静矩值也不同；●静矩值可正、可负，也可能为零；●静矩的单位为：m3、cm3、mm3。§Ⅰ-1静矩和形心一、简单图形的静矩（面积矩、一次矩）3、静矩和形心的关系理论力学已知平面图形形心坐标公式：可得静矩和形心坐标的关系：什么情况下截面对轴的静矩为零？结论：图形对过形心的轴的静矩为零。若图形对某

3、轴的静矩为零，则此轴一定过图形的形心。例1求图形对y、z轴的静矩Sz=Ayc；Sy=Azc。可以作为公式使用。§Ⅰ-1静矩和形心二、简单图形的形心1、形心坐标公式：2、形心确定的规律：（a）图形有对称轴时，形心必在此对称轴上。（b）图形有两个对称轴时，形心必在两对称轴的交点处。§Ⅰ-1静矩和形心三、组合截面（由若干个基本图形组合而成）的静矩基本图形----指面积、形心位置已知的图形四、组合截面的形心截面各组成部分对于某一轴的静矩之代数和，等于该截面对于同一轴的静矩。例2试计算图示三角形截面对于与其底边重合的z轴的静矩。解：取平行于z轴的狭长条dA三角形对z轴的

4、静矩为：Ozyb(y)ydyhb三角形形心的y坐标：解：组合图形，用正负面积法解之.方法1用正面积法求解.将截面分为1，2两个矩形.例3试确定图示截面形心C的位置.取z轴和y轴分别与截面的左边和底边缘重合101012012Ozy90图(a)矩形1矩形2所以101012012Ozy90方法2用负面积法求解，图形分割及坐标如图(b)图(b)C1（0,0）C2（5,5）C2负面积C1yz§Ⅰ-2极惯性矩、惯性矩和惯性积一、极惯性矩（截面二次极矩）定义：平面图形中任一微面积dA与它到坐标原点Ｏ的距离ρ平方的乘积ρ2dA,称为该面积dA对于坐标原点o的极惯性矩。yzdA

5、zyo截面对坐标原点o的极惯性矩为：简单图形的极惯性矩可由定义式积分计算。实心圆截面：空心圆截面：§Ⅰ-2极惯性矩、惯性矩和惯性积二、惯性矩（截面二次轴矩）yzdAzyodA对z轴的惯性距:dA对y轴的惯性距:量纲：m4、mm4。图形对z轴的惯性矩:图形对y轴的惯性矩:极惯性矩：惯性矩的取值恒为正值。§Ⅰ-2极惯性矩、惯性矩和惯性积三、惯性积定义:平面图形内，微面积dA与其两个坐标z、y的乘积zydA在整个图形内的积分称为该图形对z、y轴的惯性积。惯性矩恒为正值；惯性积可正可负或为零。常用单位：yzdAzyo(3)若Iyz=0，则坐标轴y与z轴称为截面的一对主

6、惯性轴；Iy与Iz称为主惯性矩。(4)若Iyz=0，且y与z轴同时通过截面形心，则称其为截面的一对形心主惯性轴，对应的Iy与Iz称为截面的形心主惯性矩。§Ⅰ-2极惯性矩、惯性矩和惯性积三、惯性积(1)惯性矩、惯性积是对轴而言的，不同截面对同一对轴或同一截面对不同轴的数值是不同的；极惯性矩是对点（称为极点）而言的，同一截面对不同点的极惯性矩值也不同。(2)若截面有一根对称轴,则该截面对包括此对称轴在内的一对正交坐标轴的惯性积必为零。§Ⅰ-2极惯性矩、惯性矩和惯性积三、惯性积组合截面的惯性矩和惯性积：当截面由ｎ个简单图形组合而成时，截面对于某根轴的惯性矩或惯性积等

7、于这些简单图形对于该轴的惯性矩或惯性积之和。即:§Ⅰ-2极惯性矩、惯性矩和惯性积四、惯性半径截面对z轴的惯性半径截面对y轴的惯性半径如以r表示某一截面对某轴的惯性半径，定义Ip＝d432Wp=d316Ip＝D432(1-4)Wp=D316(1-4)=/D对于实心圆截面：对于圆环截面：Wp=D/2Ip扭转截面系数：y圆形y圆环解：bhzyCydy例4求矩形截面对其对称轴y,z轴的惯性矩及抗弯截面系数.同理：取微面积dA=dzdy，则：zyd解：因为截面对其圆心O的极惯性矩为例5求圆形截面对其对称轴的惯性矩.所以解：因为截面对其圆心O的极惯性矩为例6

8、求圆环截面对其对称轴的惯性矩.y圆环