chapt12截面的几何性质解析.ppt

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1、附录I平面图形的几何性质为什么要研究截面图形的几何性质◆研究杆件的应力与变形，研究失效问题以及强度、刚度、稳定问题，都要涉及到与截面图形的几何形状和尺寸有关的量。例如在杆的拉（压）计算中所用的横截面面积A，在杆的扭转计算中所用的极惯性矩Ip，在梁的弯曲计算中所用的横截面的静矩、惯性矩和惯性积等。这些量统称为几何量，包括：形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积、主轴等。1.静矩附录I平面图形的几何性质§I-1截面的静矩和形心的位置2.形心均质薄板的重心与该薄板平面图形的形心是重合的3.形心与静矩的关系结论：(1)静矩与坐标轴

2、有关，同一平面图形对于不同的坐标轴有不同的静矩。静矩可正、可负、可为零；静矩常用单位为m3或mm3。(2)如果已算出静矩，就可确定形心的位置，反之亦然。(3)某轴过图形的形心，则图形对该轴的静矩为零；图形对某轴的静矩为零，则该轴一定过图形的形心。有一个对称轴：形心C位于该轴上yCzzyC有两个对称轴：两个对称轴的交点就是形心C的位置Czy对某点对称（中心对称）：形心C位于对称中心4.平面图形形心和静矩的确定对于简单的、规则的图形和对称图形，其形心位置可以直接判断，例如矩形、正方形、圆形、正三角形等的形心位置是显而易见的。(1)简单的

3、、规则的图形例I-1求图示半径为r的半圆形对其直径轴x的静矩及其形心坐标yC。OCrxydAyCydy解：过圆心O作与x轴垂直的y轴，在距x任意高度y处取一个与x轴平行的窄条，所以(2)组合图形的形心与静矩①组合图形的静矩②组合图形的形心解：将此图形分别为I、II、III三部分，以图形的铅垂对称轴为y轴，过II、III的形心且与y轴垂直的轴线取为x轴，则例I-2求图示图形的形心。150yCxOx1y120010yC300IIIIII10由于对称知：xC=01.极惯性矩：2.惯性矩：为图形对一点的极惯性矩；xydAxyrO3.惯性积：

4、为图形对x、y一对正交轴的惯性积；分别为图形对x、y轴的惯性矩；§I-2极惯性矩惯性矩惯性积4.惯性半径iy和ix分别称为截面对于y轴和x轴的惯性半径，其单位为m或mm.②惯性矩、极惯性矩恒为正值，惯性积有正负，单位：m4、cm4、mm4；③若图形有一个对称轴，则图形对包含此对称轴的一对正交轴的惯性积为零；④惯性矩、惯性积和极惯性矩均为面积的二次矩.5.①惯性矩与极惯性矩的关系：平面图形对过一点的任意一对正交轴的惯性矩之和为常数，等于图形对该点的极惯性矩。解：平行x轴取一窄长条，其面积为dA=bdy，则例I-3求图示矩形对通过其形心

5、且与边平行的x、y轴的惯性矩Ix、Iy和惯性积Ixy。dyb/2b/2xyyh/2h/2CdA又因为x、y轴皆为对称轴，故Ixy=0。同理可得由于圆形对任意直径轴都是对称的，故Ix=Iy注意到Iρ=Ix+Iy，得到例I-4求图示直径为d的圆对过圆心的任意直径轴的惯性矩Ix、Iy及对圆心的极惯性矩Iρ。dCxydrr解：首先求对圆心的极惯性矩。在离圆心O为r处作宽度为dr的薄圆环，其面积dA=2prdr，则一、平行移轴公式(parallel-axistheorem)1.公式推导2.平行移轴公式②b和a是图形的形心C在Oxy坐标系中的坐

6、标，所以它们是有正负的。移轴后惯性积有可能增加也可能减少。3.注意：①xC、yC轴是形心轴，在所有的平行轴中，图形对形心轴的惯性矩最小；自形心轴移至与之平行的任意轴，惯性矩总是增加的。§I-3惯性矩和惯性积的平行移轴公式组合截面的惯性矩和惯性积二、组合图形的惯性矩：OxyCdAxCyCabyxxCyC已知：、、，形心在xOy坐标系下的坐标(a，b)，求Ix、Iy、Ixy例I-5求图示T型截面对形心轴的惯性矩。530530例I-6已知三角形对底边(x1轴)的惯性矩为bh3/12，求其对过顶点的与底边平行的x2轴的惯性矩。bx1hx2

7、xCh/3解：由于x1、x2轴均非形心轴，所以不能直接使用平行移轴公式，需先求出三角形对形心轴xC的惯性矩，再求对x2轴的惯性矩，即进行两次平行移轴：303055CC2C1y221y1zC1zC2求T形截面对形心轴的惯性矩(1)求形心的位置：取参考坐标系如图，则：(2)求截面对形心轴的惯性矩：yCzyCzC一、惯性矩和惯性积的转轴公式(rotation-axistheorem)1.公式推导：2.转轴公式：3.注意：a是x轴与x1轴的夹角，由x轴逆时针转到x1轴时的a为正。§I-4惯性矩和惯性积的转轴公式截面的主惯性轴和主惯性矩y1

8、=

9、AC

10、dAy1x1y1x1ayxaDEBACOxy已知：Ix、Iy、Ixy、a，求、、。=

11、AD

12、-

13、EB

14、=ycosa-xsina利用三角变换，得到同理，利用：x1=

15、OC

16、=

17、OE

18、+

19、BD

20、=xcosa+ysina得到③形心