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1、一、无穷限的反常积分二、无界函数的反常积分§6.4反常积分上页下页铃结束返回首页一、无穷限的反常积分无穷限的反常积分的定义在反常积分的定义式中,如果极限是存在的,则称此反常积分收敛,否则称此反常积分发散.连续函数f(x)在区间[a,)上的反常积分定义为下页类似地,连续函数f(x)在区间(,b]上和在区间(,)的反常积分定义为下页一、无穷限的反常积分无穷限的反常积分的定义连续函数f(x)在区间[a,)上的反常积分定义为反常积分的计算如果F(x)是f(x)的原函数则有可采用如下简记形式：一、无穷限的反常积分无穷限的反常积分的定义连
2、续函数f(x)在区间[a,)上的反常积分定义为反常积分的计算如果F(x)是f(x)的原函数则有类似地有下页解例1下页提示：例2下页解解例3当p1时此反常积分发散首页二、无界函数的反常积分注：如果函数f(x)在点x0的任一邻域内都无界那么点x0称为函数f(x)的瑕点(也称为无界间断点)无界函数的反常积分又称为瑕积分无界函数反常积分的定义设函数f(x)在区间(a,b]上连续,点a为f(x)的瑕点.函数f(x)在(a,b]上的反常积分定义为下页在反常积分的定义式中,如果极限是存在的,则称此反常积分收敛;否则称此反常积分发散.函数f(x
3、)在[ac)(cb]上(c为瑕点)的反常积分定义为二、无界函数的反常积分类似地,函数f(x)在[a,b)上(b为瑕点)的反常积分定义为下页无界函数反常积分的定义设函数f(x)在区间(a,b]上连续,点a为f(x)的瑕点.函数f(x)在(a,b]上的反常积分定义为二、无界函数的反常积分无界函数反常积分的定义设函数f(x)在区间(a,b]上连续,点a为f(x)的瑕点.函数f(x)在(a,b]上的反常积分定义为反常积分的计算如果F(x)为f(x)的原函数可采用简记形式则f(x)在(a,b]上的反常积分为下页二、无界函数的反常积分无界函数反常积分
4、的定义设函数f(x)在区间(a,b]上连续,点a为f(x)的瑕点.函数f(x)在(a,b]上的反常积分定义为反常积分的计算如果F(x)为f(x)的原函数则f(x)在(a,b]上的反常积分为提问：f(x)在[a,b)上和在[ac)(cb]上的反常积分如何计算？如何判断反常积分的敛散性？下页所以点a为被积函数的瑕点解例4下页解例5下页当c(acb)为瑕点时解例6当q1时此反常积分发散结束例7.解：求的无穷间断点,故I为反常积分.说明:(1)有时通过换元,反常积分和常义积分可以互相转化.例如,(2)当一题同时含两类反常积分时,应划分
5、积分区间,分别讨论每一区间上的反常积分.(3)有时需考虑主值意义下的反常积分.其定义为常积分收敛.注意:主值意义下反常积分存在不等于一般意义下反例题试证,并求其值.解:令函数1.定义2.性质(1)递推公式证:(分部积分)注意到:(2)证:(3)余元公式:(4)得应用中常见的积分这表明左端的积分可用函数来计算.例如,问题1:曲边梯形的面积问题2:变速直线运动的路程存在定理广义积分定积分定积分的性质定积分的计算法牛顿-莱布尼茨公式一、主要内容二、与定积分概念有关的问题的解法1.用定积分概念与性质求极限2.用定积分性质估值3.与变限积分有关的问题三、
6、有关定积分计算和证明的方法1.熟练运用定积分计算的常用公式和方法2.注意特殊形式定积分的计算3.利用各种积分技巧计算定积分4.有关定积分命题的证明方法思考:下列作法是否正确?例1.求解:因为时,所以利用夹逼准则得因为依赖于且1)思考例1下列做法对吗?利用积分中值定理,原式不对!说明:2)此类问题放大或缩小时一般应保留含参数的项.解：将数列适当放大和缩小，以简化成积分和：已知利用夹逼准则可知例2.求思考:提示:由上题故练习:1.求极限解：原式2.求极限提示：原式左边=右边例3.估计下列积分值解:因为∴即例4.证明证:令则令得故例5解：例6解例8解例9
7、解令例10解例11.选择一个常数c,使解:令则因为被积函数为奇函数,故选择c使即可使原式为0.例12解是偶函数,例13.设解:例14证例15证作辅助函数例16解(1)(2)例17.解：且由方程确定y是x的函数,求方程两端对x求导,得令x=1,得再对y求导,得故例18.求可微函数f(x)使满足解:等式两边对x求导,得不妨设f(x)≠0,则注意f(0)=0,得例19.求多项式f(x)使它满足方程解:令则代入原方程得两边求导:可见f(x)应为二次多项式,设代入①式比较同次幂系数,得故①再求导:例20.证明恒等式证:令则因此又故所证等式成立.例21.试证使
8、分析:要证即故作辅助函数至少存在一点证明:令在上连续,在至少使即因在上连续且不为0,从而不变号,因此故所证等式成立.故由罗
