叶片的强度与振动.ppt

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1、2.主振型的正交性叶片的不同阶的振型之间也存在着正交性，在这里我们把叶片作为连续弹性体，故将表现为积分形式。设分别为对应于的主振型函数，据上节讨论必有(a)(b)用Yj乘a式并在全梁分部积分，可得(c)同理，用Yi乘b式并在全梁进行分部积分，得(d)将上两式相减得上式右边实际上是x=0和x=l时叶片的端点条件，应等于零。因此，只要，便有该式即为叶片的主振型对于质量的正交性表达式。(3-23)将上式代回c式可得(3-24)该式为叶片的主振型对刚度的正交性表达式。对等截面叶片主振型的正交性表达式简化为(3-25)(3-26)三、变截面叶片固有频率的

2、计算对于一般系统，由于其复杂性，只能求其近似的数值解。近似求解变截面叶片的固有频率，可用振型迭代法。该法的主要特点是先假设一个系统的主振型，经过逐次迭代，使它收敛到该阶主振型（以前后两次计算值相近为准），从而得到系统的固有频率。振型迭代法又可分为雷利法和矩阵迭代法。1.雷利法变截面叶片可视为悬臂梁，将其离散为如图3-24所示。为集中质量，为相应集中质量作用截面的静挠度。如忽略阻尼，变截面叶片自由振动可看成是保守系统。在保守系统中机械能量守恒的。叶片在振动的每一瞬间，其能量有两种形式，为势能U和动能T，而U+T=const，在振动到最大振幅时，系

3、统动能为零，具有最大势能Umax，当振动到平衡位置时，系统势能为零，具有最大动能Tmax，据能量守恒，有(a)图3-24计算最大势能和最大动能必须要知道系统的振型曲线Y(x)，但对多自由度系统智能给出近似的振型曲线。雷利提出可用系统的静挠度曲线来近似系统一阶主振型。工程实践证明，这是一个很好的近似。用能量法求多自由度系统固有频率的方法也称之为雷利法(Rayleigh’smethod)。对于2阶以上的振型，我们很难给出与之相近的曲线。所以雷利法一般只用于计算系统的基频。用该法仅计算一次便可得到工程上满意的结果，故无需多次迭代。如计算出各集中质量点

4、处的静挠度为。设叶片的振动是简谐的，各集中质量的运动可有下式表示(b)式中是叶片横振动的固有频率，为初相位，各质量点处的速度为(c)其最大速度为各质量的最大动能及最大势能为(d)(e)(f)上两式的区别在于3-28式振型可取相对值，而3-27式中必须用系统的静挠度值，不能用相对值。令，有，当Y按一定比例变化时，3-27式中的据能量守恒有由此得变截面叶片的固有频率在机械振动理论中，有雷利商式(3-27)(3-28)并没有按相同的比例变化，所以该式中只能取系统静挠度的绝对数值。现在求变截面叶片固有频率问题便转化为求在集中质量作用下梁的静挠度问题。现

5、用直接积分法来求变截面叶片的静挠度。以上已推出(3-29)因变截面叶片的截面变化规律A(x)及主惯性矩变化规律J(x)很难用解析式表达，因此对上式只能进行数值积分。2.振型迭代法可以直接假设一个近似的一阶主振型曲线如等，将其离散为作为振型初始值，所假设的振型曲线必须满足叶片的变形几何边界条件。对叶片自由振动有可改写为(3-30)这里Y为叶片某阶主振型，ω为相应固有频率，为惯性力集度。出于同样的理由对3-30是也仅能进行数值积分。将叶片分为n段，以根部为0截面，叶顶为n截面，将振型初始值Y(x)及A(x),J(x)的相应离散值代入上式，积分四次，

6、便可以求出一阶振型曲线的第一次近似值。式中k为计算截面。如以i表振型阶次，j表迭代次数，上式可重写为对上式进行迭代，如前后两次计算结果相当接近，则认为已得到满意结果，可停止计算。例题：某压缩机一级动叶片叶高l=17cm，材料为2Cr13，将叶片等分10段，每段集中质量作用在段中，根部截面下标为0，视为固定端，计算模型图示如下各截面面积A，主惯性矩J，长度012345678910Q0M0l/10012345678910A(cm2)6.7176.5626.3436.2566.2086.10855.6655.2125.074.8834.65J(cm4

7、)0.63600.60110.53180.47310.43280.39810.33110.26180.22830.20240.1745Dx(cm)1.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.7问题1：设初始振型为，用振型迭代法计算变截面叶片的一阶固有频率。42问题2：计算叶片的一阶弯曲振动相对动应力计算见下表，本例只计算背弧顶点B的相对弯曲动应力3.二阶固有频率的计算变截面叶片二阶和二阶以上固有频率计算的困难在于：很难找到相应振型的较准确的近似曲线，一般所取的振型初始值误差较大。以二阶固有频率计算为例，设所去的初始振型曲线为

8、Y(x),则Y(x)可表示为n个主振型的线性组合（如叶片分为n段）初始振型Y(x)中所包含的高于二阶的振型成分，其值相对于可略而不计，但Y(x)所包含