《数学分析》第十四章 幂级数

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1、第十四章幂级数（10时）§1幂级数（4时）幂级数的一般概念.型如和的幂级数.幂级数由系数数列唯一确定.幂级数至少有一个收敛点.以下只讨论型如的幂级数.幂级数是最简单的函数项级数之一.一.幂级数的收敛域:Th1（Abel定理）若幂级数在点收敛,则对满足不等式的任何,幂级数收敛而且绝对收敛；若在点发散,则对满足不等式的任何，幂级数发散.证收敛,{}有界.设

2、

3、,有

4、,其中..定理的第二部分系第一部分的逆否命题.幂级数和的收敛域的结构.定义幂级数的收敛半径R.收敛半径R的求法.Th2对于幂级数,若,则ⅰ>时,;ⅱ>时;ⅲ>时.证,(强调开方次数与的次数是

5、一致的).……130由于,因此亦可用比值法求收敛半径.幂级数的收敛区间:.幂级数的收敛域:一般来说,收敛区间收敛域.幂级数的收敛域是区间、、或之一.例1求幂级数的收敛域.()例2求幂级数的收敛域.()例3求下列幂级数的收敛域:⑴;⑵.例4求级数的收敛域.Ex[1]P50—511.二．幂级数的一致收敛性：Th3若幂级数的收敛半径为，则该幂级数在区间内闭一致收敛.证,设,则对,有,级数绝对收敛,由优级数判别法幂级数在上一致收敛.因此,幂级数在区间内闭一致收敛.Th4设幂级数的收敛半径为,且在点(或)收敛,则幂级数在区间(或)上一致收敛.130证.收敛,

6、函数列在区间上递减且一致有界,由Abel判别法,幂级数在区间上一致收敛.易见,当幂级数的收敛域为(时,该幂级数即在区间上一致收敛.三.幂级数的性质:1.逐项求导和积分后的级数:设,*)和**)仍为幂级数.我们有Th5*)和**)与有相同的收敛半径.(简证)注:*)和**)与虽有相同的收敛半径(因而有相同的收敛区间)，但未必有相同的收敛域,例如级数.2.幂级数的运算性质:定义两个幂级数和在点的某邻域内相等是指：它们在该邻域内收敛且有相同的和函数.Th6.Th7设幂级数和的收敛半径分别为和,,则ⅰ>,—常数，.ⅱ>+,.130ⅲ>()(),,.3.和函

7、数的性质:Th8设在(内.则ⅰ>在内连续;ⅱ>若级数或收敛,则在点(或)是左(或右)连续的;ⅲ>对,在点可微且有;ⅳ>对,在区间上可积,且.注:当级数收敛时,无论级数在点收敛与否,均有.这是因为:由级数收敛,得函数在点左连续,因此有.推论1和函数在区间内任意次可导,且有,…….注:由系1可见,是幂级数的和函数的必要条件是任意次可导.推论2若,则有130例5验证函数满足微分方程.验证所给幂级数的收敛域为..,代入,.例6由于,.所以,..,Ex[1]P50—514,5，6.§2函数的幂级数展开（4时）一.函数的幂级数展开:1.Taylor级数:设函数

8、在点有任意阶导数.Taylor公式和Maclaurin公式.Taylor公式：130.余项的形式:Peano型余项:,（只要求在点的某邻域内有阶导数，存在）Lagrange型余项:在与之间.或.积分型余项:当函数在点的某邻域内有阶连续导数时,有.Cauchy余项:在上述积分型余项的条件下,有Cauchy余项.特别地，时，Cauchy余项为在与之间.Taylor级数:Taylor公式仅有有限项,是用多项式逼近函数.项数无限增多时,得,称此级数为函数在点的Taylor级数.只要函数在点无限次可导,就可写出其Taylor级数.称=时的Taylor级数为M

9、aclaurin级数,即级数.130自然会有以下问题:对于在点无限次可导的函数,在的定义域内或在点的某邻域内,函数和其Taylor级数是否相等呢?2．函数与其Taylor级数的关系：例1函数在点无限次可微.求得,.其Taylor级数为.该幂级数的收敛域为.仅在区间内有=.而在其他点并不相等,因为级数发散.那么,在Taylor级数的收敛点,是否必有和其Taylor级数相等呢?回答也是否定的.例2函数在点无限次可导且有因此Taylor级数，在内处处收敛.但除了点外,函数和其Taylor级数并不相等.另一方面,由本章§1Th8推论2（和函数的性质）知:在

10、点的某邻域内倘有,则在点无限次可导且级数必为函数在点的Taylor级数.综上,我们有如下结论:⑴对于在点无限次可导的函数,其Taylor级数可能除点外均发散,即便在点的某邻域内其Taylor级数收敛,和函数也未必就是.由此可见,不同的函数可能会有完全相同的Taylor级数.⑵若幂级数在点的某邻域内收敛于函数,则该幂级数就是130函数在点的Taylor级数.于是,为把函数在点的某邻域内表示为关于的幂级数，我们只能考虑其Taylor级数.3．函数的Taylor展开式：若在点的某邻域内函数的Taylor级数收敛且和恰为，则称函数在点可展开成Taylor级

11、数(自然要附带展开区间.称此时的Taylor级数为函数在点的Taylor展开式或幂级数展开式.简称函数在点可展为幂级数.当