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1、作业题与解答第九章4、11、15、164、判断下列集合对所给的二元运算是否封闭：(1)整数集合Z和普通的减法运算*(2)非零整数集合Z和普通的除法运算(3)全体n×n实矩阵集合Mn(R)和矩阵加法及乘法运算，其中n≥2(4)全体n×n实可逆矩阵集合关于矩阵加法和乘法运算，其中n≥2+(5)正实数集合R和运算，其中运算定义为：+ａ,ｂ∈R,ab=ab-a-b+(6)n∈Z,nZ={nz
2、z∈Z}.nZ关于普通的加法和乘法运算。(7)A={a1,a2,...,an},n≥2.运算定义如下：ai,aj∈A,aiaj=ai.+(8)S={2x-1
3、x∈Z}关于普通的加法和乘法运算。(9)S={
4、0,1},S关于普通的加法和乘法运算。n+(10)S={x
5、x=2,n∈Z}，S关于普通的加法和乘法运算。解：(1)封闭(2)不封闭(3)封闭(4)不封闭、封闭(5)不封闭(6)封闭(7)封闭(8)不封闭、封闭(9)不封闭、封闭(10)不封闭、封闭11、设S={1,2,...,10},问下面定义的运算能否与S构成代数系统?如果能构成代数系统则说明*运算是否满足交换律、结合律，并求*运算的单位元和零元。(1)x*y=gcd(x,y),gcd(x,y)是x与y的最大公约数。(2)x*y=lcm(x,y),lcm(x,y)是x与y的最小公倍数。(3)x*y=大于等于x和y的最小整数
6、。(4)x*y=质数p的个数，其中x≤p≤y.解：(1)能构成代数系统，且*运算满足交换律、结合律，*运算不存在单位元，零元为1。(2)不能构成代数系统。(3)能构成代数系统，且*运算满足交换律、结合律，*运算的单位元为1，零元为10。(4)不能构成代数系统。14、下面各集合都是N的子集，它们能否构成代数系统V=的子代数：(1){x
7、x∈N∧x可以被16整除}(2){x
8、x∈N∧x与8互质}(3){x
9、x∈N∧x是40的因子}(4){x
10、x∈N∧x是30的倍数}解：(1)是(2)不是(3)不是(4)是16、设V=，其中+和·分别代表普通加法和乘法，对下面给定的每
11、个集合确定它是否构成V的子代数，为什么？(1)S1={2n
12、n∈Z}(2)S2={2n＋1
13、n∈Z}(3)S3={－1，0，1}解：(1)S1不能构成V的子代数，因为乘法的单位元不在S1中。(2)S2不能构成V的子代数，因为加法运算不封闭。(3)S3不能构成V的子代数，因为加法运算不封闭。第十章15、17、18、21、22、24、27、28、29。215、设G为群，若x∈G有x=e,证明G为交换群证明：a,b∈G2由条件x∈G有x=e222所以a=e,b=e(ab)=e,即(ab)(ab)=e-1-1-1-1所以a=a,b=b,ba=ab所以ba=ab,即ab=ba，因此G为交换
14、群。17、设G为群，a,b,c∈G,证明：
15、abc
16、=
17、bca
18、=
19、cab
20、证明：设
21、abc
22、=r,
23、bca
24、=t，rt则(abc)=e,(bca)=et由于(abc)=(abc)(abc)……(abc)-1=a(bca)(bca)……(bca)at-1-1-1=a(bca)a=aea=aa=e由定理知：r
25、tr又由于(bca)=(bca)(bca)……(bca)-1=a(abc)(abc)……(abc)a-1r-1-1=a(abc)a=aea=aa=e由定理知：t
26、r综上所述:r=t,即
27、abc
28、=
29、bca
30、同理可证：
31、bca
32、=
33、cab
34、所以
35、abc
36、=
37、bca
38、=
39、cab
40、18、
41、证明偶数阶群必含2阶元证明：设偶数阶群为G，不妨设
42、G
43、=2n下面按元素的阶进行划分：①元素的阶为1,只有单位元e,所以个数为1。②元素的阶为2，设其构成的集合为：A③元素的阶大于2，设其构成的集合为：B则B的个数一定为偶数。因为a∈G，若
44、a
45、﹥2-1-1则由定理知
46、a
47、=
48、a
49、，且a≠a所以阶大于2的元素成对出现。因此B的个数一定为偶数。所以
50、G
51、=1+
52、A
53、+
54、B
55、，即
56、A
57、=
58、G
59、-1-
60、B
61、≥1，所以偶数阶群必含2阶元。21、设G为群，a是G中给定元素，a的正规化子N(a)表示G中与a可交换的元素构成的集合，即N(a)={x
62、x∈G∧xa=ax}证明：N(a)是G的子群证明
63、:(1)a∈N(a),所以N(a)非空(因为a∈G∧aa=aa)(2)x,y∈N(a)则xa=axya=ay-1-1-1在ya=ay两边分别乘以a,得ya=ay-1-1-1-1-1-1由于(xy)a=x(ya)=x(ay)=x(ya)-1-1-1-1=x(ay)=(xa)y=(ax)y=a(xy)-1-1所以(xy)a=a(xy)由判定定理知N(a)是G的子群22、设H是群G的子群,x∈G,令-1-1xHx={xhx
64、h∈H},-1证明：xH
