中值定理有关的证明题辅助函数法.doc

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1、与微分中值定理有关的证明题，辅助函数方法介绍一．积分法例设在上连续，在内可导，试证明：在内至少存在一点，满足：分析将求证等式改写为左端看成一个函数（辅助函数）在处的导数，即令积分得证明：作辅助函数则在上连续，在内可导，且由罗尔定理知：存在，使，即得说明：（1）由于积分的不唯一性，也可以取由此可得，不但计算更方便，而且对证明更有信心（2）本题若取，所以由柯西中值定理得：存在，使得移项得但是为了应用柯西中值定理，必须假定，以确保而对情况，不能应用柯西中值定理二．微分方程法（含有求知函数以及未知函数的等

2、式，称为微分方程，课本第6章）例设在上连续，在内可导，且，求证：在内至少存在一点，满足：分析本题求证式中不仅含有，而且含有，对是难以直接积分法，像上例的求出一个，使得它的导数满足常常不可能由于中既含有含有又含有与求证式构造已是相同的了，但要使同时成立也是不可能的，解决矛盾的关键，结论中可能约去了一个不等于的的公因子因为任给一个，有从而求证式等价于上式左端看成一个函数（辅助函数）在处的导数，即令令（说明与的系数对应成比例）所以得取得作辅助函数证明：作辅助函数,从而在上连续，在内可导，且由罗尔定理知：

3、存在，使，得又，上式两边同除得说明：（1）微分方程是一阶微分方程，通过分离变量法求解的本题也可避开微分方程上式化为两个函数的导数相等，二者至多相差一个常数，即右端加上只是为了去对数方便，没有什么特殊含义（2）为了作辅助函数更加快捷，由求证式将替换成，考虑方程得去对数得，(一定要让右端化为常数)令左端为，即例：设在上连续，在内可导，且，求证：在内至少存在一点，满足：分析：（1）令，与的系数对应成比例取，得辅助函数为（2）较为快捷的方式，将求证式中的换成，考虑方程得左端为，即证明：辅助函数，从而在上连

4、续，在内可导，且由罗尔定理知：存在，使，得化简得