N维球体的体积公式.doc

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1、n维球体的体积递推公式若用Vn表示n维半径为1的球体的体积，则n+1维半径为1的球体的体积为?Vn?1?2?20Vncosn?dsin?（1）本文简要地推导此递推公式。换言之，简要说明积分项为何为Vncosn?dsin?。首先看一维情形。当n?1时，球体的体积显然为其半径的两倍。换言之，此时Vn?2。再来看二维情形。二维球体（即我们通常所说的圆）可以认为是这样从一维球体拓展而成的：过一维球体的球心作一维球体的垂线。沿此垂线慢慢向上平移一维球体，在移动的过程中同时慢慢地收缩一维球体，以保证一维球体的边界点到球心的距离不变（即使之始终等于1）。显然，向上移

2、到某一位置（也即移动一个单位长的距离）后，一维球体的两边界点合二为一。（若边界点继续向上移动，那将导致边界点到球心的距离就会大于1了。）如此这样也就得到了半个二维球体，即通常所说的一个半圆。若如此这般从初始位置向下移到一维球体，即可得另外半个二维球体。这样二维球体的体积（也即我们常说的面积）也就等于初始的一维球体如此向上移动过程中所扫过的体积的两倍，或者说是如此累积起来的所有的一维球体的“总体积”的两倍。若用?表示其中某一个一维球体的某一个边界点和球心的连线