《计算机图形学》答案,第七章.doc

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1、7.6习题2．试证明下述几何变换的矩阵运算具有互换性：（1）两个连续的旋转变换；（2）两个连续的平移变换；（3）两个连续的变比例变换；（4）当比例系数相等时的旋转和比例变换；（1）证明：设第一次的旋转变换为：cosθ1sinθ10T1=-sinθ1cosθ10001第二次的旋转变换为：Cosθ2sinθ20T2=-sinθ2cosθ20001则因为T1*T2=cosθ1sinθ10cosθ2sinθ20-sinθ1cosθ10-sinθ2cosθ20001001=cosθ1cosθ2+sinθ1

2、sinθ2cosθ1sinθ2+sinθ1cosθ20-sinθ1cosθ2-cosθ1sinθ2-sinθ1sinθ1+cosθ1cosθ20001Cos（θ1+θ2）sin（θ1+θ2）0=-sin（θ1+θ2）cos（θ1+θ2）0001cosθ2sinθ20cosθ1sinθ10T2*T1=-sinθ2cosθ20-sinθ1cosθ10001001cosθ1cosθ2+sinθ1sinθ2cosθ1sinθ2+sinθ1cosθ20=-sinθ2cosθ1-cosθ2sinθ1-sin

3、θ1sinθ1+cosθ1cosθ20001Cos（θ1+θ2）sin（θ1+θ2）0=-sin（θ1+θ2）cos（θ1+θ2）0001即T1*T2=T2*T1,两个连续的旋转变换具有互换性（2）证明：设第一次的平移变换为：100T1=010Tx1Ty11第二次的平移变换为：100T2=010Tx2Ty21则因为T1*T2=100100010010Tx1Ty11Tx2Ty21100=010Tx1+Tx2Ty1+Ty21而T2*T1=100100010010Tx2Ty21Tx1Ty11100=0

4、10Tx1+Tx2Ty1+Ty21即T1*T2=T2*T1,两个连续的平移变换具有互换性（3）证明：设第一次的变比例变换为：Sx100T1=0Sy10001第二次的变比例变换为：Sx200T2=0Sy20001则因为T1*T2=Sx100Sx2000Sy100Sy20001001Sx1*Sx200=0Sy1*Sy20001而T2*T1=Sx200Sx1000Sy200Sy10001001Sx1*Sx200=0Sy1*Sy20001即T1*T2=T2*T1,两个连续的变比例变换具有互换性（4）证明

5、：设第一次为比例系数相等时的比例变换：S00T1=0S0001第二次的为旋转变换：cosθsinθ0T2=-sinθcosθ0001则因为T1*T2=S00cosθsinθ00S0-sinθcosθ0001001ScosθSsinθ0=-SsinθScosθ20001而T2*T1=cosθsinθ0S00-sinθcosθ00S0001001ScosθSsinθ0=-SsinθScosθ0001即T1*T2=T2*T1,“当比例系数相等时的旋转和比例“变换具有互换性3、证明二维点相对x轴作对称，

6、紧跟着相对y=-x直线作对称变换完全等价于该点相对坐标原点作旋转变换。证明：(1)点相对x轴作对称的变换矩阵100T1=0-10001(2)相对于y=-x直线作对称变换矩阵0-10T2=-1000011000-100-10因为T1*T2=0-10*-100=100001001001cos(-90º)sin(-90º)0=-sin(-90º)cos(-90º)0001即该点相对坐标原点作顺时针方向转90º的旋转变换4、证明1-t22t1+t21+t2T=完全表示一个旋转变换。-2t1-t21+t2

7、1+t2证明：令t=tg(θ/2)则：（1-t2）/(1+t2)=cosθ（2t）/(1+t2)=sinθ即cosθsinθT=-sinθcosθ将T扩充为一个三行齐次坐标的变换矩阵为：cosθsinθ0T=-sinθcosθ0001该矩阵表示为一个旋转变换5、例：三角形ABC各顶点坐标为A（3，0）B（4，2）C（6，0），其绕原点逆时针旋转90°，再向X方向平移2，Y方向平移-1。解：因为：θ=90°变换矩阵为COS90°SIN90°0010TR=-SIN90°COS90°0=-1002-1

8、12-1-1则A301010221A‘B421-100=031B‘C6012-11251C‘如果先进行平移变换，再进行旋转变换，100COS90°SIN90°0010Tr=010-SIN90°COS90°0=-1002-11001121则A301010151A‘B421-100=-161B‘C601121181C‘结论：变换顺序不同，结果也不同