高考数学 考前最后一轮基础知识巩固之第九章 第4课 抛物线.doc

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1、第4课　抛物线【考点导读】1.了解抛物线的定义,掌握抛物线标准方程的四种形式和抛物线的简单几何性质.2.会用抛物线的标准方程和几何性质解决简单的实际问题.【基础练习】1.焦点在直线x－2y－4=0上的抛物线的标准方程是2.若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为3.抛物线的焦点坐标是__(a,0)_4.抛物线上与焦点的距离等于9的点的坐标是5．点是抛物线上一动点，则点到点的距离与到直线的距离和的最小值【范例导析】例1.给定抛物线y2=2x，设A（a，0），a＞0，P是抛物线上的一点，且｜PA｜=d，试求d的最小值．解：设P（x0，y0）（x0≥0），则y02=2x0，∴d=｜

2、PA｜===．∵a＞0，x0≥0，∴（1）当0＜a＜1时，1－a＞0，此时有x0=0时，dmin==a．（2）当a≥1时，1－a≤0，此时有x0=a－1时，dmin=．例2.如图所示，直线和相交于点M，⊥，点，以A、B为端点的曲线段C上的任一点到的距离与到点N的距离相等，若△AMN为锐角三角形，，，且，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程．-10-分析：因为曲线段C上的任一点是以点N为焦点，以为准线的抛物线的一段，所以本题关键是建立适当坐标系，确定C所满足的抛物线方程．例2解：以为x轴，MN的中点为坐标原点O，建立直角坐标系．由题意，曲线段C是N为焦点，以为准线的抛物线的一段，其

3、中A、B分别为曲线段的两端点．∴设曲线段C满足的抛物线方程为：其中、为A、B的横坐标令则，∴由两点间的距离公式，得方程组：解得或∵△AMN为锐角三角形，∴，则，又B在曲线段C上，则曲线段C的方程为例3.设两点在抛物线上，l是AB的垂直平分线．（Ⅰ）当且仅当取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论；(Ⅱ)当直线l的斜率为2时，求l在y轴上截距的取值范围．解：（Ⅰ）两点到抛物线的准线的距离相等．∵抛物线的准线是x轴的平行线，不同时为0，-10-∴上述条件等价于∵，∴上述条件等价于即当且仅当时，l经过抛物线的焦点F．另解：（Ⅰ）∵抛物线，即，∴焦点为（1）直线的斜率不存在时，

4、显然有（2）直线的斜率存在时，设为k，截距为b即直线：y=kx+b由已知得：即的斜率存在时，不可能经过焦点所以当且仅当=0时，直线经过抛物线的焦点F（II）设l在y轴上的截距为b，依题意得l的方程为；过点A、B的直线方程可写为，所以满足方程得；A，B为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式即设AB的中点N的坐标为，则由即得l在y轴上截距的取值范围为（）．法二:y1=2x12,y2=2x22,相减得-10-,中点在抛物线内必例4.已知点,是抛物线上的两个动点,是坐标原点,向量,满足．设圆的方程为（1）证明线段是圆的直径;（2）当圆C的圆心到直线x-2y=0的距离的最小值为时，求

5、P的值。（1）证法一：∵，∴，即，整理得．∴设点是以线段为直径得圆上得任意一点，则即展开上式并将带入得故线段是圆的直径．证法二：同法一得：以AB为直径的圆的方程是，展开，并将①代入得所以线段AB是圆C的直径-10-（2）解法一：设圆的圆心为则∵∴又∵＝0∴∴∵，∴,∴∴，所以圆心的轨迹方程为：=设圆心到直线的距离为，则当时，有最小值，由题设得，∴解法二：同法一得：圆心的轨迹方程为：设直线与的距离为，则当与仅有一个公共点时，该点到的距离最小，最小值为，-10-由②③消x得，由得（∵）解法三：设圆的圆心为，则若圆心到直线的距离为，那∵∴又∵，，∵，∴∴当时，有最小值，由题设得，反馈

6、练习：1.抛物线的准线方程是-10-2.抛物线的焦点到其准线的距离是3.设O为坐标原点，F为抛物线的焦点，A为抛物线上的一点，若，则点A的坐标为4.抛物线上的点到直线距离的最小值是5.若直线l过抛物线(a>0)的焦点，并且与y轴垂直，若l被抛物线截得的线段长为4，则a=6.正OAB的三个顶点均在抛物线上,O为原点,则OAB的面积等于7.已知抛物线y2=8x上两个动点A、B及一个定点M（x0,y0），F是抛物线的焦点，且

7、AF

8、、

9、MF

10、、

11、BF

12、成等差数列，线段AB的垂直平分线与x轴交于一点N则点N的坐标是N(x0+4,0)__（用x0表示）；8.对于抛物线y2=4x上任意一点

13、Q，点P（a，0）都满足

14、PQ

15、≥

16、a

17、，则a的取值范围是（－∞，2AxOy67第9题9.下图所示的直角坐标系中，一运动物体经过点A（0，9），其轨迹方程是y=ax2+c（a＜0），D=（6，7）为x轴上的给定区间．为使物体落在D内，a的取值范围是10.某抛物线形拱桥跨度是20米，拱高4米，在建桥时每隔4米需用一支柱支撑，求其中最长的支柱的长.解：以拱顶为原点，水平线为x轴，建立坐标系，如图，由题意知，

18、AB

19、=20，

20、OM

21、=4，A、B坐标分别为(－10，－4）、(10，－4）设抛物线方程