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1、第21讲参数估计习题课教学目的：1.通过练习使学生进一步掌握矩估计和最大似然估计的计算方法；2.通过练习使学生理解无偏性和有效性对于评价估计量标准的重要性；3.通过练习使学生进一步掌握正态总体参数的区间估计和单侧置信限。教学重点：矩估计和最大似然估计，无偏性与有效性，正态总体参数的区间估计。教学难点：矩估计，最大似然估计，正态总体参数的区间估计。教学时数：2学时。教学过程：一、知识要点回顾1.矩估计用各阶样本原点矩作为各阶总体原点矩的估计,。若有参数，则参数的矩估计为。2.最大似然估计似然函数，取对数，从=0中解得的最大似然估计。3
2、.无偏性,有效性当时，称为的无偏估计。当时，称估计量比有效。二、典型例题解析1．设，求的矩估计。解设则=故，所以。2.设总体在上服从均匀分布，求a和b的矩估计。解由均匀分布的数学期望和方差知（1）（2）由（1）解得，代入（2）得，整理得，解得故得的矩估计为其中。3．设总体的密度函数为，求的最大似然估计。解设，则4．设总体的密度函数已知），求参数的最大似然估计。解解得。5.设和为参数的两个独立的无偏估计量，且假定，求常数和，使为的无偏估计，并使方差最小。解由于,且知，故得c+d=1。又由于并使其最小，即使，满足条件c+d=1的最小值。
3、令d=1-c，代入得，解得。7.设某电子元件的寿命服从正态分布，抽样检查10个元件，得样本均值，样本标准差。求(1)总体均值置信水平为的置信区间；(2)用作为的估计值，求绝对误差值不大于10（h）的概率。解(1)由于未知，s=14（h）,根据求置信区间的公式得查表得，故总体均值置信水平为的置信区间为(2)1-0.05=0.958.设为正态总体的一个样本，确定常数的值，使为的无偏估计。解由于，所以有由（无偏性），故有，所以。二、计算题窗体顶端1.某工厂生产滚珠.从某日生产的产品中随机抽取9个,测得直径(单位:mm)如下:14.614.
4、715.114.915.014.815.115.214.8用矩估计法估计该日生产的滚珠的平均直径和均方差.解.设滚珠的直径为X,平均直径为μ,均方差为σ. 由矩估计法可知,而 ,∴. ,而=0.03654,∴.窗体底端窗体顶端2.设总体X的密度函数为,其中(θ＞0),求θ的极大似然估计量.解.设(X1,X2,…,Xn)是来自X的一样本.由极大似然估计原理,参数θ的似然函数为: ,上式两边取对数,似然方程为,解似然方程得θ的极大似然估计量是.窗体底端窗体顶端3.设总体X的密度函数为,求α的极大
5、似然估计量和矩估计量.解.设(X1,X2,…,Xn)是来自X的样本. (1)由矩估计法, ∴.即参数α的矩估计量是 .(2)由极大似然估计原理,参数α的似然函数为 ,上式两边取对数,似然方程为,解似然方程得到参数α的极大似然估计量是.1．设，求的矩估计。解设则=故，所以。3.一地质学家研究密歇根湖湖地区的岩石成分，随机地自该地区取100个样品，每个样品有10块石子，记录了每个样品中属石灰石的石子数。假设这100次观察相互独立，并由过去经验知，它们都服从参数为n=10，P的二项分布。P是该地区一
6、块石子是石灰石的概率。求p的极大似然估计值，该地质学家所得的数据如下样品中属石灰石的石子数012345678910观察到石灰石的样品个数016723262112310解：λ的极大似然估计值为==0.4994.设X1，X1，…，Xn为总体的样本，求各未知参数的极大似然估计值和估计量（1）其中c>0为已知，θ>1，θ为未知参数。（2）其中θ>0，θ为未知参数。解（1）似然函数（解唯一故为极大似然估计量）（2）。(解唯一)故为极大似然估计量。6.设样本来自总体，如果要以99.7%的概率保证，试问样本容量n应取多大？解：。现要求n,使即，查
7、表得，，所以n=219，即样本容量为219。8.设总体X具有分布律X123Pkθ22θ(1－θ)(1－θ)2其中θ(0<θ<1)为未知参数。已知取得了样本值x1=1，x2=2，x3=1，试求θ的矩估计值和最大似然估计值。解：（1）求θ的矩估计值则得到θ的矩估计值为（2）求θ的最大似然估计值似然函数lnL(θ)=ln2+5lnθ+ln(1－θ)求导得到唯一解为
