图论及其应用第三章答案(电子科大).doc

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1、习题三：l证明：是连通图G的割边当且仅当V(G)可划分为两个子集V1和V2，使对任意及,G中的路必含.证明：充分性:是的割边，故至少含有两个连通分支，设是其中一个连通分支的顶点集，是其余分支的顶点集，对，因为中的不连通，而在中与连通，所以在每一条路上，中的必含。必要性：取，由假设中所有路均含有边，从而在中不存在从与到的路，这表明不连通，所以e是割边。l3.设G是阶大于2的连通图，证明下列命题等价：（1）G是块（2）G无环且任意一个点和任意一条边都位于同一个圈上；（3）G无环且任意三个不同点都位于同一条路上。：

2、是块，任取的一点，一边，在边插入一点，使得成为两条边，由此得到新图，显然的是阶数大于3的块，由定理，中的u,v位于同一个圈上，于是中u与边都位于同一个圈上。：无环，且任意一点和任意一条边都位于同一个圈上，任取的点u，边e，若在上，则三个不同点位于同一个闭路，即位于同一条路，如不在上，由定理，的两点在同一个闭路上，在边插入一个点v，由此得到新图，显然的是阶数大于3的块，则两条边的三个不同点在同一条路上。：连通，若不是块，则中存在着割点，划分为不同的子集块,,,无环，，点在每一条的路上，则与已知矛盾，是块。l7.

3、证明：若v是简单图G的一个割点，则v不是补图的割点。证明：是单图的割点，则有两个连通分支。现任取,如果不在的同一分支中，令是与处于不同分支的点，那么，与在的补图中连通。若在的同一分支中，则它们在的补图中邻接。所以，若是的割点，则不是补图的割点。l12.对图3——20给出的图G1和G2，求其连通度和边连通度，给出相应的最小点割和最小边割。解：最小点割{6,8}最小边割{（6,5），（8,5）}最小点割{6,7,8,9,10}最小边割{（2,7）…（1,6）}l13.设H是连通图G的子图，举例说明：有可能k(H)

4、>k(G).解：通常.He整个图为，割点左边的图为的的子图，，则.